Здравствуйте, Волков Александр!

Посмотрите, пожалуйста, моё сообщение в форуме этого вопроса.

Задача 3 решалась мной раньше, правда, не методом координат. Её решение обычным способом - в приложении. Постараюсь найти время, чтобы применить к решению задачи метод координат и, если получится, выложить его на форуме. Но и Вы попытайтесь решить эту задачу нужным методом, используя, если нужно, выкладки моего решения.

С уважением,
Mr. Andy.

Приложение:
Решение задачи 3 (без применения координатного метода).Обозначим через L точку пересечения гипотенузы с биссектрисой прямого угла, а через M - точку пересечения гипотенузы с медианой, проведённой из вершины прямого угла. Обозначим длину гипотенузы AB через c, длину катета AC - через b, длину катета BC - через a.Воспользуемся тем, что медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине биссектрисы (это можно доказать, например, вспомнив, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы), т. е. c=|AB|=2*|CM|=2*m.Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ACM и BCM, т. е. S(ABC)=S(ACL)+S(BCL), но площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, l - длина общего основания треугольников, высоты равны соответственно b/sqrt 2 и a/sqrt 2, поэтомуa*b/2=(l*b/(2*sqrt 2))+(l*a/(2*sqrt 2)),a*b*(sqrt 2)/l=a+b.Из треугольника ABC по теореме Пифагора имеем:a^2+b^2=c^2=4*m^2, (a+b)^2-2*a*b=4*m^2,2*(a*b)^2/l^2-2*(a*b)-4*m^2=0.Решая последнее уравнение относительно (a*b), находим:(a*b)=(l^2+l*sqrt(l^2+8*m^2))/2 (второй корень не подходит как отрицательная величина,S(ABC)=(a*b)/2=)=(l^2+l*sqrt(l^2+8*m^2))/4, что и требовалось доказать.