Здравствуйте, Михаил !
Дано: Закон движения частицы r^[$8594$](t) = i^[$8594$]·3·t³ + j^[$8594$]·3·cos([$969$]·t) + k^[$8594$]·[4·t³ - 3·t⁵]
Вычислить момент времени, когда ускорение a^[$8594$](t) частицы окажется перпендикулярной оси z .

Решение: Пункт Условия "ускорение частицы окажется перпендикулярной оси z" означает равенство нулю вертикальной составляющей ускорения (в этот момент вектор ускорения будет в горизонтальной плоскости xOy). Этот пункт очень упрощает решение, потому что составляющие по осям OX и OY можно игнорировать.
У нас остаётся Вертикальная составляющая пути: r_z(t) = 4·t³ - 3·t⁵

Вычисляем вертикальную составляющую скорости дифференцированием r_z(t) по t-аргументу :
V_z(t) = [r_z(t)]' = (4·t³ - 3·t⁵)' = 12·t² - 15·t⁴

Вычисляем вертикальную составляющую ускорения дифференцированием V_z(t) по t-аргументу :
a_z(t) = [V_z(t)]' = (12·t² - 15·t⁴)' = 24·t - 60·t³

Приравниваем вертикальную составляющую ускорения к нулю и решаем уравнение 24·t - 60·t³ = 0
Это кубическое уравнение имеет 3 корня. Первый корень t₁ = 0 очевиден. Он позволяет разделить обе части уравнения на t .
Оставшееся уравнение 24 - 60·t² = 0 упрощаем до вида 24 = 60·t² и получаем ещё 2 корня :
t₂ = [$8730$](24/60) = [$8730$](2/5) = [$8730$]10 / 5 [$8776$] 0,632
t₃ = -[$8730$](24/60) = -[$8730$]10 / 5 [$8776$] -0,632 игнорируем, как отрицательный и не соответствующий физическому смыслу.
Корень t₁ = 0 тоже игнорируем, как НЕ отвечающий на вопрос "Через сколько секунд…".
Ответ : ускорение частицы окажется перпендикулярной оси z через 0,632 секунд. =Удачи!