Консультация онлайн # 203085

Раздел: Математика
Автор вопроса: oligator.a.y (Посетитель)
Дата: 30.07.2022, 19:03 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S : x^2 + y^2 =49, z = 4, z = 8 в направлении внешней нормали. Векторное поле прикреплено в файле
Здравствуйте, oligator.a.y !
Даны: Векторное поле a = 5·(x2 - y2)·i + 6·(y2 - z2)·j + 9·(z2 - x2)·k и замкнутая поверхность S ,
ограниченная плоскостями Z1 = 4 , Z2 = 8 и вертикальной трубой x2 + y2 = 49 .
Вычислить Поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали.

Решение начинаем с чертежа (прилагаю). На рис1 видим, что заданную замкнутую поверхность S можно квалифицировать как цилиндр, расположенный в первых 4х октантах 3х-мерной системы координат OXYZ (см ru.wikipedia.org/wiki/Октант (Ссылка) ).
Боковая поверхность нашего цилиндра - это вертикально-расположенная круглая труба, у кот-й ось находится на аппликате OZ . Проекция трубы на плоскость XOY задана уравнением
x2 + y2 = 49 = R2 (см рис2). Значит, радиус цилиндра R = 7 ед, а высота h = Z2 - Z1 = 4 .

Теория и методика решения хорошо описаны в учебной статье "Как вычислить поток векторного поля?" Ссылка2 . Не будем терять время на повторение и переходим к практическим вычислениям.

Используя свойство аддитивности поверхностного интеграла, представим искомый Поток векторного поля в виде суммы 4х поверхностных интегралов по ориентированным поверхностям цилиндра:
П = П1 + П2 + П3 + П4 , где
П1 = σ1∬a(x ; y ; z)·dσ1 - поток векторного поля ч-з верхнюю крышку цилиндра с поверхностью σ1
и нормаль-вектором n1 = k(0 ; 0 ; 1) (направлен вертикально вверх);

П2 = σ2∬a(x ; y ; z)·dσ2 - поток векторного поля ч-з нижнюю крышку цилиндра с поверхностью σ2
и нормаль-вектором n2 = -k(0 ; 0 ; -1); (направлен вертикально вниз);

П3 = σ3∬a(x ; y ; z)·dσ3 - поток векторного поля ч-з боковую поверхность σ3 в первом и втором октантах
и нормаль-вектором n3 , направленным горизонтально прочь от оси цилиндра;

П4 = σ3∬a(x ; y ; z)·dσ3 - поток векторного поля ч-з боковую поверхность σ4 в 3м и 4м октантах
и нормаль-вектором n4 , направленным также горизонтально прочь от оси цилиндра, но с противоположным знаком.

Решение Вашей задачи настолько трудоёмкое, что выполнить его без помощи программ-калькуляторов я не в состоянии. Вы можете использовать OnLine-калькуляторы, я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка3) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншоты с формулами прилагаю.

Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом, чтобы Вам было всё понятно.
МаткадОператор stack(A, B, C, …) объединяет числовые данные в вектор-столбец.
Символ := означает оператор присваивания. Символ = - вывести на экран в числовом виде. Символ - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).

Ответ: Поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен 21168·π ≈ 66501 кв.ед.
Проверка упрощённая сделана. Если что-то осталось непонятным - спрашивайте.

Последнее редактирование 04.08.2022, 13:53 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
04.08.2022, 11:31
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 203085

oligator.a.y

Посетитель

ID: 405030

326754

= общий =    30.07.2022, 19:29
a=5(x^2-y^2)i+6(y^2-z^2)j+9(z^2-x^2)k
Не получилось прикрепить файлом вектор.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326759

= общий =    01.08.2022, 11:25
Вы уже 3й раз задаёте этот Вопрос (начиная с rfpro.ru/question/203067 (Ссылка))
В консультации rfpro.ru/question/203074 я советовал Вам изучить хорошую учебную статью по теме Вашего Вопроса: "Как вычислить поток векторного поля?" Ссылка3 . Вы одобрили мой пост и ничего не ответили. Я тогда подумал, будто Вы уже решили свою задачу.
А что непонятно Вам в Условии или методе решения? Либо Вам нужен т-ко Ответ-число без каких-либо пояснений?
oligator.a.y

Посетитель

ID: 405030

326760

= общий =    01.08.2022, 12:23
Здравствуйте, я начал изучать статью, что вы скинули, но к сожалению сейчас из-за работы совсем нет времени разобраться с этой задачей
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326761

= общий =    01.08.2022, 13:15
Я тоже начал изучать статью "Как вычислить поток…". Интернет у меня ограниченный, ч-з оператора сотовой связи. А статья сложная, за день не изучишь. Чтоб не проглатывать рекламы и ненужную инфу при каждом сеансе изучения, я скопировал статью в html полностью, убил в копии все JavaScript, масштабировал картин-формулы плохо-различимые, заменяю картин-формулы текст-тэгами. Это займёт дня 3.

Задача Ваша - повышенной трудности, решать её придётся неск-ко дней, а практической пользы в ней - мизер. Зачем Вы взялись решать её, да ещё с таким упорством? Откуда Вы взяли эту задачу?
oligator.a.y

Посетитель

ID: 405030

326762

= общий =    01.08.2022, 13:22
Данную задачу дал преподаватель в университете
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326768

= общий =    03.08.2022, 08:57
Я изучил статью "Как вычислить поток векторного поля?", вычистил из копии НЕотносящиеся к теме ссылки и тэги (объём уменьшился 5-кратно, могу поделиться). Также я начертил Вашу замкнутую поверхность (цилиндр с осью на аппликате OZ). И я мог бы уже решить Вашу задачу, если бы она не содержала кривых 3х-мерных поверхностей (такие НЕ рассмотрены в статье).
Я планирую победить ч-з ~ 20 часов.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.