Консультация онлайн # 202972

Раздел: Математика
Автор вопроса: oligator.a.y (Посетитель)
Дата: 04.06.2022, 10:19 Консультация неактивна
Поступило ответов: 2
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вычислить поверхностный интеграл первого рода, где S -часть плоскости 7x+9y+5z-4=0, лежащая в первом октанте. Интеграл прикреплён в файле

-----
Прикрепленные файлы:

Здравствуйте, oligator.a.y!

Запишем уравнение заданной плоскости "в отрезках":




Полученный результат означает, что в первом октанте расположена часть заданной плоскости, которая представляет собой треугольник с вершинами в точках Проекция этого треугольника на плоскость представляет собой треугольник с вершинами в точках

Выведем уравнение прямой, проходящей через точки







Из уравнения заданной поверхности получим, что



Значит,




(вычисление интеграла показано здесь: Ссылка >>)

(вычисление интеграла показано здесь: Ссылка >>)


Я ответил на Ваш вопрос, как мог. При таких исходных данных ошибиться более вероятно. чем не ошибиться. Что Вы сделали плохого своему преподавателю, если он выдал Вам такое задание? smile

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
07.06.2022, 22:22
Нет оценки ответа
Условие: фрагмент поверхности σ есть плоскость 7x + 9y + 5z - 4 = 0 , расположенная в первом октанте.
Дана также ПодИнтегральная функция f(x, y, z) = -2·x - 2·y + 3·z + 5 .
Вычислить поверхностный интеграл первого рода σ∬f(x; y; z)·dσ .

Я решаю эту задачу по той причине, что автор предыдущего ОтветаN1 выразил сомнение "При таких исходных данных ошибиться более вероятно. чем не ошибиться". Читаем учебную статью "Поверхностные интегралы. Понятие и примеры решений" Ссылка1 и следуем рекомендациям её автора. Уравнение заданной плоскости σ "в отрезках" имеет вид
x / (4/7) + y / (4/9) + z / (4/5) = 1 , что даёт нам координаты треугольной призмы
AOBC : A(4/7 ; 0 ; 0), O(0 ; 0 ; 0), B(0 ; 4/0 ; 0), C(0 ; 0 ; 4/5) с основанием AOB и вершиной C . Фрагмент поверхности σ - это треугольник ABC , а его проекция на координатную плоскость XOY есть треугольник AOB , я выделил его на чертеже голубой заливкой.

Интеграл действительно сложный (двойной, да ещё с радикалом и производными…). Поэтому для уверенности в правильном решении лучше разделить это решение на 2 этапа. На первом этапе вычислим площадь σ-фрагмента , приняв f(x, y, z) = 1 .
Двойной интеграл вычисления площади
S = σ∬dσ заменяем последовательным вычислением двух обычных интегралов
iy(x) = 0y(x)∫√[(z'x)2 + (z'y)2 + 1]·dx = (4 - 7·x)·√155 / 45
S = 0A(1)∫iy(x)·dx = 04/7∫[(4 - 7·x)·√155 / 45]·dx = 8·√155 / 315
Здесь z(x; y) = 4/5 - 9·y/5 - 7·x/5 - уравнение плоскости σ в функциональном виде,
z'x = -7/5 , z'y = -9/5 - его частные производные по x , y ;
y(x) = 4/9 - 7·x / 9 - уравнение ребра BA призмы AOBC .

Значение S олицетворяет площадь треугольника ABC , которую легко проверить альтернативным вычислением по школьной формуле Герона (по 3м известным сторонам треугольника). Вы можете вычислять любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…). Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от ошибок. Маткад-скриншот с вычислениями и чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
На скрине мы видим, что значения площадей совпали, значит, мы правильно применяем метод из учебной статьи, и можно перейти ко второму этапу решения с использованием заданной ПодИнтегральной функции f(x, y, z).
Ответ : поверхностный интеграл равен 38728·√(155) / 297675 ≈ 1,620 ед3 , что совпадает с Ответом Андрея Владимировича и подтверждает его безошибочность.

Последнее редактирование 09.06.2022, 12:40 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
09.06.2022, 12:14
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 202972

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326455

= общий =    06.06.2022, 00:10
Начертите проекции своих плоскостей на простом плоском графике XOY .
Изучите хорошую учебную статью по Вашей теме "Поверхностные интегралы. Понятие и примеры решений" Ссылка
Дальше сами справитесь?
oligator.a.y

Посетитель

ID: 405030

326459

= общий =    07.06.2022, 22:24
Спасибо
Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

326460

= общий =    07.06.2022, 22:26
И Вам спасибо за спасибо! Я надеюсь, что Вы с пониманием отнесётесь к ошибкам в расчёте, если они будут обнаружены. smile
=====
Facta loquuntur.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.