Здравствуйте, oligator.a.y!

Запишем уравнение заданной плоскости "в отрезках":




Полученный результат означает, что в первом октанте расположена часть заданной плоскости, которая представляет собой треугольник с вершинами в точках Проекция этого треугольника на плоскость представляет собой треугольник с вершинами в точках

Выведем уравнение прямой, проходящей через точки







Из уравнения заданной поверхности получим, что



Значит,




(вычисление интеграла показано здесь: Ссылка >>)

(вычисление интеграла показано здесь: Ссылка >>)


Я ответил на Ваш вопрос, как мог. При таких исходных данных ошибиться более вероятно. чем не ошибиться. Что Вы сделали плохого своему преподавателю, если он выдал Вам такое задание?

Условие: фрагмент поверхности [$963$] есть плоскость 7x + 9y + 5z - 4 = 0 , расположенная в первом октанте.
Дана также ПодИнтегральная функция f(x, y, z) = -2·x - 2·y + 3·z + 5 .
Вычислить поверхностный интеграл первого рода _[$963$][$8748$]f(x; y; z)·d[$963$] .

Я решаю эту задачу по той причине, что автор предыдущего ОтветаN1 выразил сомнение "При таких исходных данных ошибиться более вероятно. чем не ошибиться". Читаем учебную статью "Поверхностные интегралы. Понятие и примеры решений" Ссылка1 и следуем рекомендациям её автора. Уравнение заданной плоскости [$963$] "в отрезках" имеет вид
x / (4/7) + y / (4/9) + z / (4/5) = 1 , что даёт нам координаты треугольной призмы
AOBC : A(4/7 ; 0 ; 0), O(0 ; 0 ; 0), B(0 ; 4/0 ; 0), C(0 ; 0 ; 4/5) с основанием AOB и вершиной C . Фрагмент поверхности [$963$] - это треугольник ABC , а его проекция на координатную плоскость XOY есть треугольник AOB , я выделил его на чертеже голубой заливкой.

Интеграл действительно сложный (двойной, да ещё с радикалом и производными…). Поэтому для уверенности в правильном решении лучше разделить это решение на 2 этапа. На первом этапе вычислим площадь [$963$]-фрагмента , приняв f(x, y, z) = 1 .
Двойной интеграл вычисления площади
S = _[$963$][$8748$]d[$963$] заменяем последовательным вычислением двух обычных интегралов
iy(x) = ₀^y(x)[$8747$][$8730$][(z'_x)² + (z'_y)² + 1]·dx = (4 - 7·x)·[$8730$]155 / 45
S = ₀^A(1)[$8747$]iy(x)·dx = ₀^4/7[$8747$][(4 - 7·x)·[$8730$]155 / 45]·dx = 8·[$8730$]155 / 315
Здесь z(x; y) = 4/5 - 9·y/5 - 7·x/5 - уравнение плоскости [$963$] в функциональном виде,
z'_x = -7/5 , z'_y = -9/5 - его частные производные по x , y ;
y(x) = 4/9 - 7·x / 9 - уравнение ребра BA призмы AOBC .

Значение S олицетворяет площадь треугольника ABC , которую легко проверить альтернативным вычислением по школьной формуле Герона (по 3м известным сторонам треугольника). Вы можете вычислять любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…). Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от ошибок. Маткад-скриншот с вычислениями и чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
На скрине мы видим, что значения площадей совпали, значит, мы правильно применяем метод из учебной статьи, и можно перейти ко второму этапу решения с использованием заданной ПодИнтегральной функции f(x, y, z).
Ответ : поверхностный интеграл равен 38728·[$8730$](155) / 297675 [$8776$] 1,620 ед³ , что совпадает с Ответом Андрея Владимировича и подтверждает его безошибочность.