Здравствуйте, iamdevica !
Дано : В треугольнике ABC угол A равен α = 60°. Биссектрисы BM и CN пересекают стороны AC и AB соответственно.
Доказать наличие на стороне BC точки P, образующей равносторонний треугольник MNP .

Решение: Задаём дополнительные данные, необходимые для графо-построения и расчёта. Пусть BC = 10 , а угол B = β = 45°.
Тогда угол C = γ = 180° - α - β = 75°. Расположим сторону BC на координатной оси OX плоскости XOY .
Используя углы γ и β , возводим стороны AB и AC , пересечение которых даёт нам вершину A .

Проводим биссектрисы BM , CN , и получаем сторону NM треугольника MNP . Тк этот треугольник - правильный согласно Условию, то угол MNP равен 60°. Откручиваем эти 60° от стороны NM по часовой стрелке, и проводим луч NP до пересечения со стороной BC .

Вычисляем координаты точек и длины сторон треугольника MNP . Удивительно, но они равны, хотя я был уверен, что они могут быть равны т-ко в одном случае, когда β = α = 60° = γ .

Вы можете вычислять любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…).
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
МаткадКонструкция типа Ax := Уравнение solve,x означает Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной x, и затем присвоить полученный результат в переменную A_x .

Я пытался для бОльшей убедительности выдать Вам Решение в символьном виде (не задавая числовое значение β = 45°). Но громоздкость формул к концу решения превышает ширину экрана!
Я добросовестно сделал проверку и убедился, что Треугольник MNP - равносторонний при любых значениях BC и β !

Я буду 2 недели хранить свой Маткад-файл на случай, если Вы захотите его копию, либо другой скриншот вычислений, сделанных для желаемых Вами значений BC и β , либо с другой степенью точности. (Маткад вычисляет до 15 знаков после зпт, на показ выводит 3 знака по-умолчанию).
Если что-то осталось непонятно, задавайте вопросы в минифоруме. =Удачи!

Последнее редактирование 28.05.2022, 10:16 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)