Консультация онлайн # 202921

Раздел: Математика
Автор вопроса: iamdevica (Посетитель)
Дата: 23.05.2022, 21:38 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке M, а биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что на стороне BC найдётся точка P такая, что треугольник MNP — равносторонний.
Здравствуйте, iamdevica !
Дано : В треугольнике ABC угол A равен α = 60°. Биссектрисы BM и CN пересекают стороны AC и AB соответственно.
Доказать наличие на стороне BC точки P, образующей равносторонний треугольник MNP .

Решение: Задаём дополнительные данные, необходимые для графо-построения и расчёта. Пусть BC = 10 , а угол B = β = 45°.
Тогда угол C = γ = 180° - α - β = 75°. Расположим сторону BC на координатной оси OX плоскости XOY .
Используя углы γ и β , возводим стороны AB и AC , пересечение которых даёт нам вершину A .

Проводим биссектрисы BM , CN , и получаем сторону NM треугольника MNP . Тк этот треугольник - правильный согласно Условию, то угол MNP равен 60°. Откручиваем эти 60° от стороны NM по часовой стрелке, и проводим луч NP до пересечения со стороной BC .

Вычисляем координаты точек и длины сторон треугольника MNP . Удивительно, но они равны, хотя я был уверен, что они могут быть равны т-ко в одном случае, когда β = α = 60° = γ .

Вы можете вычислять любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…).
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
МаткадКонструкция типа Ax := Уравнение solve,x означает Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной x, и затем присвоить полученный результат в переменную Ax .

Я пытался для бОльшей убедительности выдать Вам Решение в символьном виде (не задавая числовое значение β = 45°). Но громоздкость формул к концу решения превышает ширину экрана!
Я добросовестно сделал проверку и убедился, что Треугольник MNP - равносторонний при любых значениях BC и β !

Я буду 2 недели хранить свой Маткад-файл на случай, если Вы захотите его копию, либо другой скриншот вычислений, сделанных для желаемых Вами значений BC и β , либо с другой степенью точности. (Маткад вычисляет до 15 знаков после зпт, на показ выводит 3 знака по-умолчанию).
Если что-то осталось непонятно, задавайте вопросы в минифоруме. =Удачи!

Последнее редактирование 28.05.2022, 10:16 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
26.05.2022, 15:56
5
Большое спасибо

Мини-форум консультации # 202921

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326320

= общий =    25.05.2022, 06:10
Здравствуйте, iamdevica !
Устроит ли Вас моё доказательство методом Аналитической геометрии в приложении Маткад ?
(см примеры rfpro.ru/question/201142 (Ссылка1) , rfpro.ru/question/199644 , rfpro.ru/question/201776 )
Не хочется тратить время на долгую работу, от которой Вам вероятно не будет пользы.
iamdevica

Посетитель

ID: 405898

326323

= общий =    25.05.2022, 15:18
Добрый день! Да
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326325

= общий =    25.05.2022, 15:37
Как понимать Ваше "Да" ? То ли "Устроит" , то ли "не будет пользы" ?
Вы - школьница или студентка? Я попытался зачитать Ваш уровень подготовки в Вашей регистрационной карте, но Вы не потрудились заполнить её (там Ваш ник - женский, а Пол: мужской по-умолчанию).
Я подозреваю, Вы учитесь в какой-то олимпиадной заочной школе, и перед получением этой задачи проходили какую-то спец-тему. Какую? У Вас есть Методичка или ссылка на неё?
iamdevica

Посетитель

ID: 405898

326326

= общий =    25.05.2022, 18:38
Да, означает, что устроит. Это задача из какой-то неизвестной мне математической олимпиады, дали как д/з. Курс геометрии 9 класс
iamdevica

Посетитель

ID: 405898

326341

= общий =    26.05.2022, 22:01
Большое Вам спасибо! Файл из маткада мне не нужен. Ваше решение мне понятно.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326349

= общий =    27.05.2022, 01:47
НаЗдоровье Вам! Вы - старательная умничка (побольше бы таких!). Я вписал Вас в свой Белый список для оказания приоритетной помощи.
Я ошибся на картинке при копировании её на чистовик (Вчера почти весь день я пытался упростить громоздкие формулы Решения, устал). Угол λ должен отмеряться от горизонтали вниз, а не луча NM. Я исправил картинку. Прошу извинить меня.
А Вам давно пора спать, у Вас в Московии сейчас 3 ч ночи, верно? smile
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.