Консультация онлайн # 202846

Раздел: Математика
Автор вопроса: Spasibo (Посетитель)
Дата: 18.05.2022, 21:51 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте! У меня возникли сложности с данным уравнением в комплексных числах:
(iz - 1)^4 = (z + 3)^4.
Заранее спасибо за помощь.
Здравствуйте Spasibo!
Решаем уравнение (i·z - 1)4 - (z + 3)4 = 0 , где z = a + i·b - комплексное число,
a , b - искомые действительные числа, i = √(-1) - мнимая единица.
i·z = i·(a + i·b) = a·i + b·i2 = -b + a·i

Применим школьную формулу сокращённого умножения типа c2 - d2 = (c-d)·(c+d)
Тогда Ваше (i·z - 1)4 - (z + 3)4 = [(i·z - 1)2 - (z + 3)2]·[(i·z - 1)2 + (z + 3)2] = 0

Применим эту же формулу повторно к левому сомножителю:
[(i·z - 1) - (z + 3)]·[(i·z - 1) - (z + 3)]·[(i·z - 1)2 - (z + 3)2]·[(i·z - 1)2 + (z + 3)2] = 0
Вспоминаем, что произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю.
Наши 3 нулевые сомножителя дадут нам 3 корня.

Раскрываем скобки в первом сомножителе и разделяем действительную и мнимую части:
(i·z - 1) - (z + 3) = 0  ⇒   -(a+b+4) + (a-b)·i = 0
Комплексное число равно нулю, когда И действительная И мнимая части равны нулю.
Получаем систему 2х уравнений: a+b+4 = 0  ;  a-b = 0
Её решение даёт нам первый корень z1 = -2 - 2·i (тут a = b = -2 )

Аналогично обрабатываем 2й сомножитель:
(i·z - 1) - (z + 3) = 0  ⇒   (a-b+2) + (a+b)·i = 0
Система a-b+2 = 0  ;  a+b = 0  ⇒   z2 = -1 + 1·i

Для обработки 3го сомножителя надо раскрыть скобки по формуле (c + d)2 = c2 + 2·c·d + d2 :
(i·z - 1)2 + (z + 3)2 = 0  ⇒   (6·a + 2·b + 10) + (6·b - 2·a)·i = 0
Система 6·a + 2·b + 10 = 0  ;  6·b - 2·a = 0  ⇒   z3 = -3/2 - (1/2)·i

Делаем проверку подстановкой всех 3х корней поочерёдно в исходное уравнение и убеждаемся, что все 3 корня верны.
Я старался пояснить все действия подробно. Если что-то непонятно, задавайте вопросы в минифоруме. =Удачи!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
19.05.2022, 03:03
5
Спасибо большое за помощь!

Мини-форум консультации # 202846


Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.