Консультация онлайн # 202671

Раздел: Математика
Автор вопроса: Ира (Посетитель)
Дата: 25.04.2022, 19:07 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Найти объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями y=sin x, x=0, y=1, вокруг оси Oy. Сделать чертёж.
Чтобы вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями y = sin(x) , X0 = 0 , Y0 = 1 , вокруг оси Oy, можно представить горку блинчиков толщиной dy каждый, лежащих друг на друге. Объём одного блинчика равен площади круга
S(y) = π·R2 , умноженной на толщину dy , то есть dV = π·R2·dy ,
где R(y) = arcsin(y) - радиус каждого блинчика.

Объём всей слоёной горки равен V = X0Y0∫dV = 01∫π·R2·dy = π·01∫[arcsin(y)]2·dy - мы получили ту же самую формулу, что Вам предложил Ваш преподаватель.
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка1) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с формулами и графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ: Объём тела вращения равен π·(π2/4 - 2) ≈ 1,47 ед3
.
Для проверки представим простенькую фигуру, похожую на наше тело, но чтоб объём её можно было легко вычислить по школьной формуле, например перевёрнутый конус высотой H = Y0 = 1, а радиусом R = 1,2 .
Объём такого конуса равен Vk = (1/3)·π·R2·H ≈ 1,51
Объём конуса примерно равен объёму тела вращения, относительная погрешность менее 3%. Значит, проверка успешна.

Интеграл ∫[arcsin(y)]2·dy НЕ есть "табличный", и возможно преподаватель запросит Вас вычислить этого монстра пошагово. Пошаговое вычисление можно посмотреть на странице "OnlineКалькулятор Интегралов" Ссылка2 . Полезно также почитать учебную статью "Интегрирование по частям. Примеры решений" Ссылка3 , где цитирую: "По частям берутся интегралы следующих видов (список): … обратные тригонометрические функции (арки) и арки, умноженные на к-нибудь многочлен".

Последнее редактирование 27.04.2022, 05:50 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
27.04.2022, 05:41
5
Огроменное спасибо! Вы бесценный человек!!! Всегда готовы прийти на помощь, спасибо!

Мини-форум консультации # 202671

Ира

Посетитель

ID: 405891

325731

= общий =    25.04.2022, 19:16
Экспертам раздела
Многоуважаемые эксперты, помогите, пожалуйста, правильно найти объем тела.
Есть следующая теория

-----
Прикрепленные файлы:

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325733

= общий =    26.04.2022, 03:37
Двусмысленные требования Условия Вашей задачи y = sin(x) , X_0 = 0 , Y_0 = 1 можно толковать несколькими способами. Наиболее вероятны 2 варианта (см график ниже):
1) Вращаем площадку с голубой заливкой вокруг оси OY ;
2) Вращаем площадку с жёлтой заливкой вокруг оси OY ; …
Ограничивающая прямая X_0 = 0 (это сама ось OY) по-моему мнению больше намекает на голубую заливку. Каково Ваше мнение?

Хорошая учебная статья по теме Вашего Вопроса: "Как вычислить объём тела вращения с помощью определённого интеграла?" Ссылка
Ира

Посетитель

ID: 405891

325734

= общий =    26.04.2022, 09:21
Я вот сама на этом этапе и запуталась или считать то что голубым или же желтым. Но может скорее всего то что желтым? Тк там линия y=sin x ограничивает
Ира

Посетитель

ID: 405891

325735

= общий =    26.04.2022, 10:07
Вы к какому варианту больше склоняетесь?
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325736

= общий =    26.04.2022, 12:10
Вы спрашивали "Вы к какому варианту больше склоняетесь?" - для меня лично нет особой разницы, который вариант выбрать. Я могу в Маткаде выдать Вам оба Решения, и разбирайтесь сами со своим преподом, который поленился сформулировать Задание однозначно.

Но у стариков постепенно вырабатывается привычка: "Хочешь выиграть бой, попытайся понять замысел врага". Я конечно утрирую и не должен настраивать Вас против Вашего наставника. Но чтобы помочь Вам, я представляю себя на Вашем месте и думаю: На-фигА он дал нам бестолковейшее ограничение Y0 = 1 , если синусоида сама по себе ограничена потолком Ymax = 1 ? Было бы гораздо уместнее задать для нас аргумент-ограничение типа X2 = π / 2 или π / 2 ≤ x ≤ π . Но эти мои рассуждения оправданы для стандартного мышления, когда на Декартовой системе координат "x" - аргумент, а "y" - функция.

А наш "условный противник" выдал Вам ещё и несколько формул - зачем? Читаем эти формулы и находим ближайшую по смыслу к Вашей задаче:
"Если фигура, ограниченная кривой x = φ(y) и прямыми y = c и y = d вращается вокруг оси Oy , то объём тела вращения:
V = π·cd∫x2·dy
"

Я догадываюсь, будто Ваш препод навязывает Вам переход к альтернативной системе координат, в которой "y" - аргумент, а "x" - функция. В этой системе координат Ваша базовая функция будет выглядеть как
x = arcsin(y) , и тогда для решения Вашей задачи достаточно взять всего 1 интеграл
V = π·cd∫[arcsin(y)]2·dy , для которого c = 0 , d = 1 по области с голубой заливкой.
Сами справитесь?
Ира

Посетитель

ID: 405891

325751

= общий =    27.04.2022, 00:14
Если Вас не затруднит, было бы здорово если вы объясните и напишите решение
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325753

= общий =    27.04.2022, 01:04
Конечно затруднит, потому что я - не гений и верстаю Ответы не тяп-ляп. Но я постараюсь для Вас.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325759

= общий =    27.04.2022, 11:30
Ваши добрые благодарности придают мне силы и вдохновляют на новые трудовые подвиги.
Я рад общению с Вами. Здоровья Вам и Удачи! smile
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.