консультация онлайн № 202671: найти объём тела полученного от вращения фигуры ограниченной линиями y=sin x x=0 y=1 вокруг оси oy сдел

Модератор

Magic2hand

10-й класс

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1-й класс

Посетитель

Профессионал

8-й класс

Мы ВКонтакте

8.14.8

15.04.2022

JS: 2.14.23
CSS: 4.9.13
jQuery: 3.6.0

jQuery

jQuery UI

Bootstrap
Font Awesome

наверх

Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Администратор раздела
Математика

Образование Математические науки Решение задач

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Больше

Рекомендации по отправке вопроса в рассылки по точным наукам (физика, химия, математика)
1) Попробуйте воспользоваться поиском. Существует вероятность, что когда-то уже задавался аналогичный вопрос.
2) Ознакомьтесь с правилами и рекомендациями по отправке вопросов в правилах. Особо следует обратить внимание на подраздел Порядок отправки вопроса во избежание проблем с технической стороны.
3) Для оформления вопроса можно использовать BBCode. Для удобства его использования над формой ввода вопроса имеются кнопки вставки тегов. (обратите внимание также на ссылку еще кнопки » в правой части панели - она активирует дополнительную панель кнопок, которая, в свою очередь, может быть заменена на специально разработанную панель рассылки (при наличии таковой) нажатием на соответствующую ссылку)
Внимание! При копировании текста в форму отправки вопроса форматирование не сохраняется. При необходимости можете восстановить его с помощью BBCode.
Внимание! Не пытайтесь скопировать в форму отправки вопроса символы, набранные специальными шрифтами (Symbol, Wingdings и т. д.) - они не будут корректно отображаться. Допускается копирование спецсимволов стандартных шрифтов (Arial, Tahoma, Times New Roman...). Рекомендуется для вставки спецсимволов использовать соответствующие кнопки дополнительно панели и панели рассылки.
Внимание! Часть присутствующих на кнопках панелей спецсимволов не отображается в Internet Explorer. В случае проблем с отображением вопроса или ответов, попробуйте воспользоваться альтернативным браузером (Firefox, Opera...)

При необходимости вставить изображение в текст вопроса, загрузите изображение в раздел Мои файлы либо на фотохостинг (radikal.ru и т. п.), а затем вставьте одну из выданных сервером ссылок в текст вопроса. (желательна ссылка, оформленная в виде BBCode вставки изображения).
При необходимости приложить к вопросу файл иного типа настоятельно рекомендуется загрузить его в раздел Мои файлы и указать в вопросе ссылку на файл.
Для оформления сложных математических выражений можно использовать систему оформления формул.

Настоятельно не рекомендуется подавать несколько, не связанных между собой, заданий в одном консультации. В подобных случаях, наличие ответов на все вопросы не гарантируется. Эксперты имеют право ответить только на одно задание!

Консультация онлайн # 202671

Раздел: Математика
Автор вопроса: Ира (Посетитель)
Дата: 25.04.2022, 19:07 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Найти объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями y=sin x, x=0, y=1, вокруг оси Oy. Сделать чертёж.

Ответ # 1, Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)

Чтобы вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями y = sin(x) , X₀ = 0 , Y₀ = 1 , вокруг оси Oy, можно представить горку блинчиков толщиной dy каждый, лежащих друг на друге. Объём одного блинчика равен площади круга
S(y) = π·R² , умноженной на толщину dy , то есть dV = π·R²·dy ,
где R(y) = arcsin(y) - радиус каждого блинчика.

Объём всей слоёной горки равен V = _X0^Y0∫dV = ₀¹∫π·R²·dy = π·₀¹∫[arcsin(y)]²·dy - мы получили ту же самую формулу, что Вам предложил Ваш преподаватель.
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка1) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с формулами и графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ: Объём тела вращения равен π·(π²/4 - 2) ≈ 1,47 ед³
.
Для проверки представим простенькую фигуру, похожую на наше тело, но чтоб объём её можно было легко вычислить по школьной формуле, например перевёрнутый конус высотой H = Y₀ = 1, а радиусом R = 1,2 .
Объём такого конуса равен V_k = (1/3)·π·R²·H ≈ 1,51
Объём конуса примерно равен объёму тела вращения, относительная погрешность менее 3%. Значит, проверка успешна.

Интеграл ∫[arcsin(y)]²·dy НЕ есть "табличный", и возможно преподаватель запросит Вас вычислить этого монстра пошагово. Пошаговое вычисление можно посмотреть на странице "OnlineКалькулятор Интегралов" Ссылка2 . Полезно также почитать учебную статью "Интегрирование по частям. Примеры решений" Ссылка3 , где цитирую: "По частям берутся интегралы следующих видов (список): … обратные тригонометрические функции (арки) и арки, умноженные на к-нибудь многочлен".

Последнее редактирование 27.04.2022, 05:50 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

27.04.2022, 05:41

Огроменное спасибо! Вы бесценный человек!!! Всегда готовы прийти на помощь, спасибо!

наверх

Мини-форум консультации # 202671

Ира Посетитель ID: 405891 325731	= общий = 25.04.2022, 19:16 Экспертам раздела Многоуважаемые эксперты, помогите, пожалуйста, правильно найти объем тела. Есть следующая теория ----- Прикрепленные файлы: 1.png скачать (76.0 кб) 2.png скачать (137.5 кб)
Алексеев Владимир Николаевич Мастер-Эксперт ID: 259041 325733	= общий = 26.04.2022, 03:37 Ира Двусмысленные требования Условия Вашей задачи y = sin(x) , X_0 = 0 , Y_0 = 1 можно толковать несколькими способами. Наиболее вероятны 2 варианта (см график ниже): 1) Вращаем площадку с голубой заливкой вокруг оси OY ; 2) Вращаем площадку с жёлтой заливкой вокруг оси OY ; … Ограничивающая прямая X_0 = 0 (это сама ось OY) по-моему мнению больше намекает на голубую заливку. Каково Ваше мнение? Хорошая учебная статья по теме Вашего Вопроса: "Как вычислить объём тела вращения с помощью определённого интеграла?" Ссылка
Ира Посетитель ID: 405891 325734	= общий = 26.04.2022, 09:21 Алексеев Владимир Николаевич Я вот сама на этом этапе и запуталась или считать то что голубым или же желтым. Но может скорее всего то что желтым? Тк там линия y=sin x ограничивает
Ира Посетитель ID: 405891 325735	= общий = 26.04.2022, 10:07 Алексеев Владимир Николаевич Вы к какому варианту больше склоняетесь?
Алексеев Владимир Николаевич Мастер-Эксперт ID: 259041 325736	= общий = 26.04.2022, 12:10 Ира Вы спрашивали "Вы к какому варианту больше склоняетесь?" - для меня лично нет особой разницы, который вариант выбрать. Я могу в Маткаде выдать Вам оба Решения, и разбирайтесь сами со своим преподом, который поленился сформулировать Задание однозначно. Но у стариков постепенно вырабатывается привычка: "Хочешь выиграть бой, попытайся понять замысел врага". Я конечно утрирую и не должен настраивать Вас против Вашего наставника. Но чтобы помочь Вам, я представляю себя на Вашем месте и думаю: На-фигА он дал нам бестолковейшее ограничение Y₀ = 1 , если синусоида сама по себе ограничена потолком Y_max = 1 ? Было бы гораздо уместнее задать для нас аргумент-ограничение типа X₂ = π / 2 или π / 2 ≤ x ≤ π . Но эти мои рассуждения оправданы для стандартного мышления, когда на Декартовой системе координат "x" - аргумент, а "y" - функция. А наш "условный противник" выдал Вам ещё и несколько формул - зачем? Читаем эти формулы и находим ближайшую по смыслу к Вашей задаче: "Если фигура, ограниченная кривой x = φ(y) и прямыми y = c и y = d вращается вокруг оси Oy , то объём тела вращения: V = π·_c^d∫x²·dy" Я догадываюсь, будто Ваш препод навязывает Вам переход к альтернативной системе координат, в которой "y" - аргумент, а "x" - функция. В этой системе координат Ваша базовая функция будет выглядеть как x = arcsin(y) , и тогда для решения Вашей задачи достаточно взять всего 1 интеграл V = π·_c^d∫[arcsin(y)]²·dy , для которого c = 0 , d = 1 по области с голубой заливкой. Сами справитесь?
Ира Посетитель ID: 405891 325751	= общий = 27.04.2022, 00:14 Алексеев Владимир Николаевич Если Вас не затруднит, было бы здорово если вы объясните и напишите решение
Алексеев Владимир Николаевич Мастер-Эксперт ID: 259041 325753	= общий = 27.04.2022, 01:04 Ира Конечно затруднит, потому что я - не гений и верстаю Ответы не тяп-ляп. Но я постараюсь для Вас.
Алексеев Владимир Николаевич Мастер-Эксперт ID: 259041 325759	= общий = 27.04.2022, 11:30 Ира Ваши добрые благодарности придают мне силы и вдохновляют на новые трудовые подвиги. Я рад общению с Вами. Здоровья Вам и Удачи!

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

наверх

Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 202671

Ответ # 1, Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)

Мастер-Эксперт

27.04.2022, 05:41

Мини-форум консультации # 202671