4^ x + (x-13)2^x - 2x + 22 <0 исправил

Вы спрашивали : "Как решаются такие неравенства" - универсальный способ: Временно заменить неравенство уравнением, получить Нули функции (вычислить корни уравнения) и затем воспользоваться Методом интервалов, см статью "Нули функции. Интервалы знакопостоянства функции. Метод интервалов" Ссылка .

Для страховки от ошибок очень помогает построение графика функции (в Маткаде или по точкам или в Онлайн-графо-построителе).

У Вас есть Маткад с множеством методов решения уравнений. Популярнейшие методы Solve и Find иногда возвращают т-ко один корень из нескольких (недоделка Маткад-программы).
Но графо-построитель - это супер-инструм и всегда выдаёт полную инфу!
"Снимаем" с графика корень-значения и вставляем их в простейший вычислитель-оператор y(1) , y(3) , он возвращает чистый 0 !
Значит, данному неравенству удовлетворяет область 1 < x < 3 .

У Вас есть Маткад с множеством методов решения уравнений

маткад построил график, на котором видна область функции меньше нуля, но как решить неравенство не используя эту программу?

"как решить неравенство не используя эту программу?" - надо стараться сформулировать свой вопрос понятным для всех смыслом, например: "Как решить неравенство такое-то на школьном уровне, не используя Маткад, Онлайн и прочие машинно-цивилизованные методы?".
Это тоже просто: В школе проходили группировку членов (раскрытие скобок, приведение подобных), а также свойство Произведения: Если один из сомножителей равен нулю, то тогда и всё произведение этих сомножителей равно нулю.

Приводим Ваше уранение 4^x + (x-13)·2^x - 2·x + 22 = 0 к виду (2^x - 2)·(2^x + x - 11) = 0
Решаем простенькие уравнения (2^x - 2) = 0[$8195$] ,[$8195$] 2^x + x - 11 = 0 методом подбора, получаем 2 корня:
x₁ = 1 , x₂ = 3 - это - критические (пограничные) точки, изменяющие знак функции при переходе аргумента ч-з них. Эти 2 корня разделяют x-облать на 3 интервала : x < 1 , 1 < x < 3 , x >3 .
Согласно правилу Метода интервалов: Знак функции в любой (удобной для вычисления) точке интервала наследуется на все точки интервала.
Это значит, Если y(0) = 10 > 0 , то и на всём интервале x < 1 будет y(x) > 0 .
Если y(4) = 126 > 0 , то и на всём интервале x >3 будет y(x) > 0 .
Если y(2) = -10 < 0 , то и на всём интервале 1 < x < 3 будет y(x) < 0 . Это и есть искомый Ответ.

Метод Интервалов очень облегчает решения неравенств, но приводит к досадной ошибке, если мы нашли корни, но НЕ все. Поэтому, для страховки строим графики для каждой из 2х простых функций
y = 2^x - 2[$8195$] ,[$8195$] y = 2^x + x - 11 по точкам, приблизительно, нам важно убедиться, что каждая из этих функций есть монотонно-возрастающая, и полученные корни - единственны для них (других нет). Значит у нас всего 3 интервала (а не больше), и все 3 исследованы. =Удачи!

2x + x - 11 = 0 методом подбора, получаем 2 корня:

этот метод подходит для простых уравнений.... но у нас неравенство и как я понимаю, нужно рассматривать произведение двух скобок: первое выражение в скобках будет больше >0 , а второе <0 тогда неравенство будет соблюдаться - это первый случай, а второй наоборот: первое выражение <0 , а второе >0 .... получается надо решать систему уравнений... а как её решить, когда есть два случая?

Вы писали про МетодПодбора : "этот метод подходит для простых уравнений.... но у нас неравенство" - я уже объяснял Вам : "Временно заменить неравенство уравнением, получить Нули функции (вычислить корни уравнения) и затем воспользоваться Методом интервалов, см статью "Нули функции. Интервалы знакопостоянства функции. Метод интервалов"".

Повторяю ещё раз: Забываем временно про НЕравество (с ним в конце разберётся Метод интервалов), и решаем 2 простых уравнения.
(2^x - 2) = 0 и (2^x + x - 11) = 0 . Разработчик задачи постарался облегчить Ваш труд и создал для Вас такие простые уравнения, что их можно решить устно методом подбора цело-численных корней. Если Вам не нравится этот простейший метод, Вы можете решать эти уравнения любым другим способом.

"как я понимаю, нужно рассматривать произведение двух скобок" - нам совершенно НЕ нужно рассматривать (вычислять) произведение! Мы решаем каждый сомножитель отдельно, чтоб получить Нули исходной функции, точнее их x-аргументы.

"первое выражение в скобках будет больше >0 , а второе <0 тогда неравенство будет соблюдаться - это первый случай, а второй наоборот: первое … надо решать систему уравнений… как её решить, когда есть два случая?" - Вы запутываете себя и меня, и поэтому ошибаетесь. У нас не 2, а 3 случая - 3 интервала ЗнакоПостоянства. И нам не нужно решать никакой системы! Просто изучите статью "Нули функции. Интервалы знакопостоянства функции. Метод интервалов" по моей выше-ссылке. Это - очень полезный метод, профессиональные математики часто используют его для решения гораздо более сложных НЕравенств.
Если не хотите изучать статью, используйте мой краткий вывод из этой статьи, повторяю: "Знак функции в любой (удобной для вычисления) точке интервала наследуется на все точки интервала". А интервал (выбранный из 3х) с подходящим знаком функции - это и есть искомая Вами область НЕравенства.

Я ухожу с Вашей страницы, тк другие просители тоже ждут помощи. Повторять многократно одно и то же у меня нет возможности. Извините.

Если не хотите изучать статью, используйте мой краткий вывод из этой статьи

обязательно ознакомлюсь со ссылкой и изучу, и с Вашим тоже.
Спасибо большое за консультацию!

Приводим Ваше уранение 4x + (x-13)·2x - 2·x + 22 = 0 к виду

а как Вы привили к такому виду? у меня не получается...

Вы спрашивали : "как Вы привили к такому виду?" - поскольку члены 4^x и 2·x не имеют общего делителя, делаем временную замену :
2^x = t . Тогда 4^x = (2²)^x = 2^2·x = (2^x)² = t²
4^x + (x-13)·2^x - 2·x + 22 = 0[$8195$] [$8658$] [$8195$] t² + x·t - 13·t - 2·x + 22 = 0
Решаем это квадратное уравнение относительно t . Получаем 2 корня : t₁ = 2 и t₂ = 11 - x .
Значит, полином t² + x·t - 13·t - 2·x + 22 можно представить в виде (t - t₁)·(t - t₂) = (t - 2)·(t - 11 + x) - это всё из школьной алгебры.
Делаем обратную замену: (t - 2)·(t - 11 + x)[$8195$] [$8658$] [$8195$] (2^x - 2)·(2^x + x - 11)

это всё из школьной алгебры.

спасибо, подзабыл...

НаЗдоровье Вам, Анатолий Викторович!
Вы можете скачать "Горячие формулы школьного курса математики" со страницы "Математические формулы, таблицы и другие материалы" Ссылка .
Цитирую: "Рекомендую просмотреть всем. Данные формулы встречаются в ходе решения задач по высшей математике буквально на каждом шагу. Без знания этих формул – никуда. С чего начать изучение высшей математики? С повторения этого. Независимо от уровня Вашей математической подготовки на данный момент, крайне желательно СРАЗУ ВИДЕТЬ возможность выполнения элементарных действий, применения простейших формул в ходе решения пределов, интегралов, дифференциальных уравнений и т.д."

Но, конечно же Лучший справочник - это html-докум (с картин-формулами), сверстанный своими руками для себя, любимого под свои грабли, странности и причуды.