Консультация онлайн # 202550

Раздел: Физика
Автор вопроса: yes-2008 (Посетитель)
Дата: 08.04.2022, 15:20 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Подскажите пути решения:

Два спутника некоторой планеты обращаются вокруг неё по круговым орбитам, лежащим в одной плоскости. Высота орбиты первого спутника `H`, наименьшее расстояние между спутниками `16H`. Периоды обращения спутников `T_1=8` часов и `T_2=9` суток. Найдите наименьший возможный период `T_0` обращения спутника такой планеты.

Ответ # 1, Konstantin Shvetski (Модератор)

Дано:
H1=H
H2=H+16H=17H
T1=8 ч
T2=9 сут.=216 ч
Найти: T0
Решение: (см.рис.)

Основные формулы:
1. Ускорение свободного падения (из закона всемирного тяготения)
g=G*M/r2 (1)
здесь G-гравитационная постоянная, M-масса планеты, r-радиус орбиты спутника.
2. Ускорение свободного падения есть в данной ситуации ускорение центростремительное (нормальное), т.е.
g=an=V2/r (2)
здесь V-первая космическая скорость спутника на данной высоте.
3. Длина орбиты спутника
L=2π*r (3)
4. Скорость спутника на орбите (первая космическая)
V=L/T=2πr/T (4)
5. 3-й закон Кеплера: Куб отношения радиусов орбит равен квадрату отношения периодов обращения):
(R1/R0)3=(T1/T0)2 (5)
*******
Теперь к нашим конкретным спутникам...
Составим несколько систем уравнений:

А. Из вышеуказанных формул (1) и (2) следует, что
V02*R=GM
V12*(R+H)=GM
V22*(R+17H)=GM

Б. Из формул (3) и (4) следует, что
V0T0=2πR
V1T1=2π(R+H)
V2T2=2π(R+17H)

В. Из уравнений систем А и Б для первого и второго спутника получаем
V12(V1T1/2π)=GM
V22(V2T2/2π)=GM
Приравниваем левые части
V22(V2T2/2π)=V12(V1T1/2π)
Далее
V22(V2T2)=V12(V1T1)
(V2/V1)3=T1/T2=8/216=1/27
Отсюда
V1=3V2 (*) - соотношение скоростей 1 и 2 спутников.

Г. Найдем радиус планеты, он же - радиус самой малой возможной орбиты.
Из системы уравнений (А) для первого и второго спутника справедливо, что
V12*(R+H)=V22*(R+17H)
С учетом результата вывода (*) имеем
9V22R-V22R=17V22H-9V22H
8R=8H
R=H (**)

Д. Теперь можно применить и 3-й закон Кеплера (просто меньше писать, хотя можно и из системы уравнений (А)) - тоже сработает)
Из формулы (5)
[(R+H)/R]3=(T1/T0)2
(2/1)3/(8/T0)2
Отсюда
T0=√8 ч ≈2,82 ч
*******
Удачи
smile

Konstantin Shvetski

Модератор
12.04.2022, 15:10
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 202550

yes-2008

Посетитель

ID: 405933

325422

= общий =    08.04.2022, 15:22
Понятно, что наименьший возможный период - это будет период гипотетического спутника, который двигался бы по окружности в непосредственной близости от поверхности небесного тела
Konstantin Shvetski

Модератор

ID: 226425

325432

= общий =    08.04.2022, 21:18
- мне кажется, это задачи по астрономии...нет? Законы Кеплера
=====
С уважением, shvetski
yes-2008

Посетитель

ID: 405933

325433

= общий =    08.04.2022, 21:33
Я думал из соотношения скоростей найти радиус, там вроде соотношение квадратов скоростей равно соотношению радиусов орбит.
Исходя из того, что V=√GM/√R
V12/V22=R1/R2
по идее R1=R+H и T2=R+17H, но может быть, что R1=H и R2=17H.
Тут надо внимательнее прочитать, что подразумевается.
В любом случае R1 иR2 должны включать в себя R.
И известны периоды обращения T1 и T2.
T=2πR/V
Из этого найти радиус планеты. Осталось только как-то выйти на скорость) Завтра распишу, что надумал и в чем затык. По идее, все должно ограничиваться школьной+/- физикой.
Konstantin Shvetski

Модератор

ID: 226425

325438

= общий =    09.04.2022, 00:59

T_1=8` часов и `T_2=9` суток

- интересно, часы и сутки соответствуют земным? и имеет ли это значение? smile
А есть еще какая-то третья планета с периодом Т0?
***
Это я еще пока про законы Кеплера - 3-й закон вроде бы
=====
С уважением, shvetski
Konstantin Shvetski

Модератор

ID: 226425

325465

= общий =    10.04.2022, 11:22
Опять же - ночью решал. Радиус планеты получился 9,5Н. До периода еще не дошёл. Точнее, формулу получил, но надо перепроверить.
А что у вас сэтой задачей, есть продвижение?
*****
Э, нет... ошибка
=====
С уважением, shvetski
yes-2008

Посетитель

ID: 405933

325490

= общий =    11.04.2022, 14:24
да нет как-то без продвижения, ну найду радиус...необходима еще скорость что бы выйти на период
Без идей откуда ее вытащить
вот что получается
v2/v1=√(R+17H)/√(R+H))
зная что
v=2πR/T
также
v2/v1=([2π(R+17H)/T2)/(2π(R+H)/T1)
получаем
√(R+17H)/√(R+H))=(2π(R+17H)/T2)/(2π(R+H)/T1)
все возведем в квадрат
(R+17H)/(R+H)=(4π2(R+17H)2/T22)/(4π2(R+H)2/T21)
2 сокращаются
получаем
(R+17H)/(R+H)=((R+17H)2/T22)/((R+H)2/T21)
(R+17H)/(R+H)=((R+17H)2*T21)/((R+H)2*T22)
T21/T22=(R+17H)/(R+H)
T21*R+T21*H=T22*R+T22*17H
R(T21-T22)=H(17*T22*-T21)
отсюда
R=H(17*T22*-T21)/(T21-T22)
вот, но не нравится что получается отрицательная величина


yes-2008

Посетитель

ID: 405933

325492

= общий =    11.04.2022, 15:26
положим мы узнали радиус
тогда может говорить о том что вычислим скорости спутников
опять же из соотношения скоростей и формулы
v=√GM/√R
уже можно перейти к T0
пока такие рассуждения, но не уверен что выразил правильно R
Konstantin Shvetski

Модератор

ID: 226425

325504

= общий =    12.04.2022, 00:46
Вот, вроде бы получилось у меня. Никаких законов Кеплера... Только движение по окружности и закон всемирного тяготения. И Алгебра smile .
Завтра с утра выложу решение.
=====
С уважением, shvetski
yes-2008

Посетитель

ID: 405933

325522

= общий =    12.04.2022, 14:51
ох..у меня чувствую есть извилины, но количество непонятно, все в узел завязались)
Konstantin Shvetski

Модератор

ID: 226425

325523

= общий =    12.04.2022, 15:13
Развязывайте... уже можно smile
=====
С уважением, shvetski
yes-2008

Посетитель

ID: 405933

325526

= общий =    12.04.2022, 16:19
Спасибо...через длины окружностей я даже и не рассматривал
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.