Консультация онлайн # 202549

Раздел: Математика
Автор вопроса: Lifes_student (Посетитель)
Дата: 08.04.2022, 10:39 Консультация неактивна
Поступило ответов: 2
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
"В выражении (1 + x + x^2 + ... + x^9 + x^10)^3 раскрыли все скобки и привели подобные члены. Найдите коэффициент при x^4."
Здравствуйте, Lifes_student !
Вы спрашивали : "правильный ли ход решения и сам ответ?" - НЕправильные.
Решать эту задачу традиционным, классическим методом, как указанно в Условии "раскрыли все скобки и привели подобные члены" смогут только гениальные бездельники. Люди среднего ума с вероятностью 99% запутаются и ошибутся в попытках получить конечное колич-во 31 членов из гораздо бОльшего их кол-ва в промежуточных вычислениях .

Тут нужно применить "военную хитрость". Для начала полезно почитать теорию типа "Мультиномиальный коэффициент" dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/22244 (Ссылка) .
Затем решаем задачу для укороченной цепочки f1(x) = (1 + x)3 .

Затем решаем задачу для чуть удлинённой цепочки f2(x) = (1 + x + x2)3 ,
f3(x) = (1 + x + x2 + x3)3 , f4(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4)3 , достаточно.

Замечаем, особенность: чтобы найти коэффициент при x1 достаточно обработать цепочку с 2мя членами f1(x) = (1 + x)3 .
Чтобы найти коэффициент при x2 достаточно обработать цепочку с 3мя членами f2(x) = (1 + x + x2)3 .
Чтобы найти коэффициент при x3 достаточно обработать цепочку с 4мя членами f3(x) = (1 + x + x2 + x3)3 .
Чтобы найти коэффициент при x4 достаточно обработать цепочку с 5-ю членами f4(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4)3 .
Потому что указанные коэффициенты НЕ увеличиваются при избыточном количестве длины цепочки

Я сделал вычисления и проверку в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с вычислениями прилагаю. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Правильный Ответ: коэффициент при x4 равен 15 .
Маткад-оператор coeffs возвращает вектор-столбец чисел, олицетворяющих полиномиальные коэффициенты, начиная с коэффициента при x0 . =Удачи!

Последнее редактирование 09.04.2022, 12:42 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
09.04.2022, 11:02
5
Здравствуйте, Lifes_student!

Правильный ответ можно получить путём логических рассуждений, учитывая, что и умножение степеней с одинаковыми основаниями есть степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней. Тогда имеем
(три способа получить сумму показателей степеней, равную четырём, дают после раскрытия скобок);

(шесть способов получить сумму показателей степеней, равную четырём, дают после раскрытия скобок);

(три способа получить сумму показателей степеней, равную четырём, дают после раскрытия скобок);

(три способа получить сумму показателей степеней, равную четырём, дают после раскрытия скобок).

Других способов получить сумму, равную четырём в рассматриваемом случае нет. Стало быть, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим

то есть коэффициент при равен

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
09.04.2022, 13:22
5

Мини-форум консультации # 202549

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

325429

= общий =    08.04.2022, 20:12
Здравствуйте, Lifes_student!

Сообщите, пожалуйста, из какого источника Вы взяли эту задачу.
=====
Facta loquuntur.
Lifes_student

Посетитель

ID: 405829

325434

= общий =    08.04.2022, 21:37
Здравствуйте, Андрей владимирович!

Источник неизвестен.
Я попытался решить следующим образом:
(1 + x + x^2 + ... + x^9 + x^10) * (1 + x + x^2 + ... + x^9 + x^10) * (1 + x + x^2 + ... + x^9 + x^10), попробуем упростить и просчитать алгоритм:

если:
(1 + x^4) * (1 + x^4) * (1 + x^4) = (1 + 2 * x^4 + x^8) * (1 + x^4) = 1 + 2 * x^4 + x^8 + x^4 + 2 * x^8 + x^12, т.е. коэффициент у x^4 будет "3".

если:
(1 + x + x^4) * (1 + x + x^4) * (1 + x + x^4) = (1 + x + x^4 + x + x^2 + x^5 + x^4 + x^5 + x^8) * (1 + x + x^4) = (1 + x + x^4 + x + x^2 + x^5 + x^4 + x^5 + x^8) + (x + x^2 + x^5 + x^2 + x^3 + x^6 + x^5 + x^6 + x^9) + (x^4 + x^5 + x^9 + x^5 + x^6 + x^9 + x^8 + x^9 + x^12), т.е. коэффициент у x^4 будет "3".

То есть считаю, что при (1 + x + x^2 + ... + x^9 + x^10)^3 - коэффициент при x^4 будет равный "3".

Как Вы думаете правильный ли ход решения и сам ответ?
Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

325435

= общий =    08.04.2022, 21:40
Мне интересен не ход Вашего решения, а ответ на это сообщение:

Здравствуйте, Lifes_student!

Сообщите, пожалуйста, из какого источника Вы взяли эту задачу.


Источник не может быть неизвестен Вам.
=====
Facta loquuntur.
Lifes_student

Посетитель

ID: 405829

325436

= общий =    08.04.2022, 21:47
Задачу мне прислали с целью уточнить правильность решения. Сама формулировка была прислана в виде одной только задачи без какой-либо привязки к какой-либо литературе.
Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

325437

= общий =    08.04.2022, 21:51
Благодарю Вас за информацию! Для меня важно знать источник задачи, чтобы ненароком не выполнить задание повышенного или "олимпиадного" уровня. Поэтому я воздержусь от консультации. Возможно, Вас проконсультирует эксперт раздела. smile
=====
Facta loquuntur.
Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

325441

= общий =    09.04.2022, 06:54
Здравствуйте, Lifes_student!

Вы сообщили:

Задачу мне прислали с целью уточнить правильность решения.


А какой ответ был в этом решении?
=====
Facta loquuntur.
Lifes_student

Посетитель

ID: 405829

325447

= общий =    09.04.2022, 10:20
Здравствуйте!

Ответа не было, была лишь попытка решить, соответственно которую подкорректировал и результат выслал ранее.
Ответ получился = 3.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.