Консультация онлайн # 202365

Раздел: Математика
Автор вопроса: Вика Зотова (Посетитель)
Дата: 18.03.2022, 15:46 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y0, y'(0)=y'0.

y''-4y'+13y=26x+5; y(0)=1; y'(0)=0
Дано ДУ (Дифференциальное уравнение) y'' - 4·y' + 13·y = 26·x + 5
Вычислить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 , y'(0) = 0 .

Решение : Вам досталось НЕоднородное ДУ второго порядка. Для его решения следуем алгоритму, рекомендованному в учебной статье по ниже-ссылке в мини-форуме.
Этап1 : Сначала ищем общее решение соответствующего однородного уравнения y'' - 4·y' + 13·y = 0 (обнуляем правую часть).
Составляем характеристическое уравнение λ2 - 4·λ + 13·1 = 0 . Решаем его. Получаем сопряжённые комплексные корни
λ1 = 2 + 3·i и λ2 = 2 - 3·i . Как толковать эти числа? Читаем предыдущий урок "Однородные ДУ 2го и высших порядков" Ссылка2 . Аннотирую : "Если характеристич-уравнение λ2 + p·λ + q = 0 имеет сопряжённые комплксные корни λ1 = α - β·i , λ2 = α + β·i (дискриминант D < 0), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
y = eα·x·[C1·cos(β·x) + C2·sin(β·x)] , где C1 , C2 - константы
".
В нашем случае α = 2 , β = 3 . Значит, наше общее решение: Y = e2·x·[C1·cos(3·x) + C2·sin(3·x)]

Этап2: Ищем решение НЕоднородного уравнения. Используем методический материал "Подбор частного решения НЕоднородного ДУ.pdf" Ссылка3
В таблице "В каком виде нужно искать частное решение…" в примере N2 находим u = A·x + B (я вынужден заменить исходное имя переменной y с тильдой на u изза ограничений сервера rfpro.ru)

Вычислим первую и вторую производные: u' = (A·x + B)' = A , u'' = (u')' = (A)' = 0
Подставим u, u' и u'' в левую часть нашего НЕоднородного уравнения:
u'' - 4·u' + 13·u = 0 - 4·A + 13·(A·x + B)
К полученной левой части приписываем знак "=" и правую часть исходного ДУ : -4·A + 13·A·x + 13·B = 26·x + 5
Приравняем коэффициенты при соответствующих x-степенях и составим систему линейных уравнений:
13·A·x = 26·x , -4·A + 13·B = 5 , из которой получаем: A = 26/13 = 2 , B = 1 ⇒ u = 2·x + 1

Этап3 : Просто запишем общее решение НЕоднородного уравнени как сумму:
y = Y + u = e2·x·[C1·cos(3·x) + C2·sin(3·x)] + 2·x + 1 , где C1, C2 - const .

Этап4 : Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0) = 1 ; y'(0) = 0.
y(0) = e2·0·[C1·cos(3·0) + C2·sin(3·0)] + 2·0 + 1 приравниваем к y(0) = 1.
Получаем 1·[C1·1 + 0] + 0 + 1 = 1  ⇒   C1 + 1 = 1  ⇒   C1 = 0

Затем вычисляем производную y' = (Y + u = e2·x·[0·cos(3·x) + C2·sin(3·x)] + 2·x + 1)' =
= 3·C2·e2·x·cos(3·x) + 2·C2·e2·x·sin(3·x) + 2
и y'(0) = 3·C2·e2·0·cos(3·0) + 2·C2·e2·0·sin(3·0) + 2 приравниваем к y'(0) = 0 .
3·C2·1·1 + 2·C2·1·0 + 2 = 0  ⇒   3·C2 + 2 = 0  ⇒   C2 = -2/3
Подставляем значения констант в выше-найденное общее решение и получаем
Ответ: частное решение равно y = 2·x - (2/3)·e2·x·sin(3·x) + 1

Проверка: Вычисляем производные:
y' = (2·x - (2/3)·e2·x·sin(3·x) + 1) = 2 - (4/3)·e2·x·sin(3·x) - 2·e2·x·cos(3·x)
y'' = [2 - (4/3)·e2·x·sin(3·x) - 2·e2·x·cos(3·x)]' = (10/3)·e2·x·sin(3·x) - 8·e2·x·cos(3·x)
Подставляем их и частное решение в левую часть исходного уравнения:
y'' - 4·y' + 13·y = (10/3)·e2·x·sin(3·x) - 8·e2·x·cos(3·x) - 4·[2 - (4/3)·e2·x·sin(3·x) - 2·e2·x·cos(3·x)] + 13·[2·x - (2/3)·e2·0·sin(3·x) + 1] → 26·x + 5 - получена правая часть. Значит, проверка успешна!
Тема - трудная для многих. Если что-то непонятно, задавайте вопросы в ниже-мини-форуме.

Последнее редактирование 24.03.2022, 05:49 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
19.03.2022, 07:08
5
Спасибо большое, сама только до середины примерно дошла. Будем разбираться!

Мини-форум консультации # 202365

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

324956

= общий =    18.03.2022, 16:20
В тексте Вашего Вопроса Вы хорошо написали Условие задачи, но не написали сам вопрос. Вы не знаете, с чего начать и как решать? Классифицирую: Вам досталось НЕоднородное диф-уравнение второго порядка. Алгоритм его решения хорошо описан в учебной статье "Как решить НЕоднородное дифференциальное уравнение второго порядка?" Ссылка .
Ознакомьтесь с рекомендациями доброго и опытного репетитора в этой статье.
Дальше сами справитесь?
Вика Зотова

Посетитель

ID: 405866

324959

= общий =    18.03.2022, 18:01
К сожалению, я не очень хорошо понимаю тему, поэтому хотелось бы увидеть полное решение и самой его проанализировать. Если можно конечно.
Елена Васильевна

Профессионал

ID: 398750

324960

= общий =    18.03.2022, 19:36
в статье приведенной выше очень подробно расписаны примеры, попробуйте тоже самое со своими числами. Сначала Вам нужно в правой части поставить 0, решить однородное уравнение, для этого нужно составить квадратное характеристическое уравнение, это очень просто и найти его корни. Начинайте решать, показывайте что получается
epimkin

Профессионал

ID: 400669

324973

= общий =    19.03.2022, 00:05
Вика, а в задании не указано каким способом решать? Начальные условия , когда х=0 ,часто предусматривает решение операторным методом
Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

324979

= общий =    19.03.2022, 06:38
Здравствуйте, Вика!

Вам в помощь: Ссылка >>.
=====
Facta loquuntur.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.