Дано ДУ (Дифференциальное уравнение) y'' - 4·y' + 13·y = 26·x + 5
Вычислить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 , y'(0) = 0 .

Решение : Вам досталось НЕоднородное ДУ второго порядка. Для его решения следуем алгоритму, рекомендованному в учебной статье по ниже-ссылке в мини-форуме.
Этап1 : Сначала ищем общее решение соответствующего однородного уравнения y'' - 4·y' + 13·y = 0 (обнуляем правую часть).
Составляем характеристическое уравнение [$955$]² - 4·[$955$] + 13·1 = 0 . Решаем его. Получаем сопряжённые комплексные корни
[$955$]₁ = 2 + 3·i и [$955$]₂ = 2 - 3·i . Как толковать эти числа? Читаем предыдущий урок "Однородные ДУ 2го и высших порядков" Ссылка2 . Аннотирую : "Если характеристич-уравнение [$955$]² + p·[$955$] + q = 0 имеет сопряжённые комплксные корни [$955$]₁ = [$945$] - [$946$]·i , [$955$]₂ = [$945$] + [$946$]·i (дискриминант D < 0), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
y = e^[$945$]·x·[C₁·cos([$946$]·x) + C₂·sin([$946$]·x)] , где C₁ , C₂ - константы".
В нашем случае [$945$] = 2 , [$946$] = 3 . Значит, наше общее решение: Y = e^2·x·[C₁·cos(3·x) + C₂·sin(3·x)]

Этап2: Ищем решение НЕоднородного уравнения. Используем методический материал "Подбор частного решения НЕоднородного ДУ.pdf" Ссылка3
В таблице "В каком виде нужно искать частное решение…" в примере N2 находим u = A·x + B (я вынужден заменить исходное имя переменной y с тильдой на u изза ограничений сервера rfpro.ru)

Вычислим первую и вторую производные: u' = (A·x + B)' = A , u'' = (u')' = (A)' = 0
Подставим u, u' и u'' в левую часть нашего НЕоднородного уравнения:
u'' - 4·u' + 13·u = 0 - 4·A + 13·(A·x + B)
К полученной левой части приписываем знак "=" и правую часть исходного ДУ : -4·A + 13·A·x + 13·B = 26·x + 5
Приравняем коэффициенты при соответствующих x-степенях и составим систему линейных уравнений:
13·A·x = 26·x , -4·A + 13·B = 5 , из которой получаем: A = 26/13 = 2 , B = 1 [$8658$] u = 2·x + 1

Этап3 : Просто запишем общее решение НЕоднородного уравнени как сумму:
y = Y + u = e^2·x·[C₁·cos(3·x) + C₂·sin(3·x)] + 2·x + 1 , где C1, C2 - const .

Этап4 : Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0) = 1 ; y'(0) = 0.
y(0) = e^2·0·[C₁·cos(3·0) + C₂·sin(3·0)] + 2·0 + 1 приравниваем к y(0) = 1.
Получаем 1·[C₁·1 + 0] + 0 + 1 = 1[$8195$] [$8658$] [$8195$] C₁ + 1 = 1[$8195$] [$8658$] [$8195$] C₁ = 0

Затем вычисляем производную y' = (Y + u = e^2·x·[0·cos(3·x) + C₂·sin(3·x)] + 2·x + 1)' =
= 3·C₂·e^2·x·cos(3·x) + 2·C₂·e^2·x·sin(3·x) + 2
и y'(0) = 3·C₂·e^2·0·cos(3·0) + 2·C₂·e^2·0·sin(3·0) + 2 приравниваем к y'(0) = 0 .
3·C₂·1·1 + 2·C₂·1·0 + 2 = 0[$8195$] [$8658$] [$8195$] 3·C₂ + 2 = 0[$8195$] [$8658$] [$8195$] C₂ = -2/3
Подставляем значения констант в выше-найденное общее решение и получаем
Ответ: частное решение равно y = 2·x - (2/3)·e^2·x·sin(3·x) + 1

Проверка: Вычисляем производные:
y' = (2·x - (2/3)·e^2·x·sin(3·x) + 1) = 2 - (4/3)·e^2·x·sin(3·x) - 2·e^2·x·cos(3·x)
y'' = [2 - (4/3)·e^2·x·sin(3·x) - 2·e^2·x·cos(3·x)]' = (10/3)·e^2·x·sin(3·x) - 8·e^2·x·cos(3·x)
Подставляем их и частное решение в левую часть исходного уравнения:
y'' - 4·y' + 13·y = (10/3)·e^2·x·sin(3·x) - 8·e^2·x·cos(3·x) - 4·[2 - (4/3)·e^2·x·sin(3·x) - 2·e^2·x·cos(3·x)] + 13·[2·x - (2/3)·e^2·0·sin(3·x) + 1] [$8594$] 26·x + 5 - получена правая часть. Значит, проверка успешна!
Тема - трудная для многих. Если что-то непонятно, задавайте вопросы в ниже-мини-форуме.