Консультация онлайн # 202277

Раздел: Математика
Автор вопроса: Вика Зотова (Посетитель)
Дата: 10.03.2022, 15:45 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:


Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию y(0) = y(не знаю как поставить маленький нолик, но он тут должен быть)

y'=(x^2)+(y^2); y(0) = 2
Условие : ДУ (Дифференциальное уравнение) : y' = x2 + y2 ; Начальное условие : y(0) = 2 .
Вычислить 3 первые отличные от нуля члена разложения в степенной ряд.

Решение : Берём за основу алгоритм, хорошо описанный в учебной статье "Как найти частное решени ДУ приближённо с помощью ряда?" Ссылка1 , где в Примере3 рассмотрено такое же, как у Вас ДУ с чуть другим Начальным условием.

Разложение частного решени y = y(x) ДУ при начальном условии y(x0) = y0 имеет общий вид:
y(x) = y(x0) + [y'(x0) / 1!]·(x - x0) + [y''(x0) / 2!]·(x - x0)2 + [y'''(x0) / 3!]·(x - x0)3 + …
В нашем случае: x0 = 0 , y(x0) = y(0) = 2 . При x0 = 0 общий ряд Тейлора вырождается в упрощённый ряд МаклОрена :
y(x) = y(0) + [y'(0) / 1!]·x + [y''(0) / 2!]·x2 + [y'''(0) / 3!]·x3 + …

Первая производная y' = x2 + y2 дана в Условии.
В правую часть y' = x2 + y2 подставим x = x0 = 0 , y = y(0) = 2 :
y'(0) = 02 + (2)2 = 0 + 4 = 4 ≠ 0 .

Вычислим вторую производную : y'' = (x2 + y2)' = 2·x + 2·y·y'
Подставим x = x0 = 0 , y = y(0) = 2 , y' = y'(0) = 4 :
y''(0) = 2·x + 2·y·y' = 2·0 + 2·2·4 = 0 + 16 = 16 ≠ 0

Вычислим третью производную : y''' = (2·x + 2·y·y')' = 2·x' + 2·(y'·y' + y·y'') = 2 + 2·[(y')2 + y·y'']
Подставим x = x0 = 0 , y = y(0) = 2 , y' = y'(0) = 4 , y'' = y''(0) = 16 :
y'''(0) = 2 + 2·[(y')2 + y·y''] = 2 + 2·(42 + 2·16) = 2 + 2·(16 + 32) = 2 + 2·48 = 98 ≠ 0

Таким образом, искомое приближённое разложение частного решения:
y(x) ≈ y(0) + [y'(0) / 1!]·x + [y''(0) / 2!]·x2 + [y'''(0) / 3!]·x3 = 2 + (4/1)·x + (16/2)·x2 + (98/6)·x3
Ответ : 3 первые члена разложения в степенной ряд: y(x) ≈ 2 + 4·x + 8·x2 + (49/3)·x3

Проверка : Для выполнения проверки я попытался получить точное значение Решения на Онлайн-решателях ДУ. Однако, mathdf.com/dif/ru/ возвратил: "Не удалось найти решение для дифура y' = x2 + y2 либо Решение в элементарных функциях НЕ существует". wolframalpha.com/ возвратил очень громоздкую дробь с большими и сложными Якобианами! Популярное приложение Маткад (ссылка2) вычислило Вашу функцию с высочайшей точностью (15 знаков!). Маткад-скриншот с таблицей числовых значений и графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Вам повезло с Начальным условием (ряд Маклорена чуть проще, чем ряд Тейлора), но НЕ повезло с исходным ДУ. Полученный ряд НЕ есть быстро-сходящийся, и поэтому кривая приближённого Решения (3х-членного ряда) сильно отличается от кривой Точных значений при больших значениях x-аргумента. Надо вычислить много членов ряда, чтобы расширить область совпадения кривых.
Но в окрестности Начального условия (в интервале малых значений "x") мы видим, что обе кривые полностью совпадают. Значит, проверка успешна!

Последнее редактирование 13.03.2022, 15:22 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
13.03.2022, 13:53
5
Спасибо большое!!

Мини-форум консультации # 202277

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

324745

= общий =    11.03.2022, 16:12
В Вашем Условии должно быть y' = x2 + y2 ; Начальное условие y(0) = y0 = 2 , верно?

Вы спрашивали "как поставить маленький нолик" - кликните зелёную пиктограмму "+" правее ниже-заголовка "Пост в мини-форум". Сервер откроет Вам Дополнительную панель форматирования.
Во 2м ряду слева кликните кнопку
Её название "Нижний индекс" всплывает при наведении мышь-курсора на кнопку.
Сервер вставит в текстовое поле код [sub][/sub] , помогающий Вам опустить символ в Нижний индекс. Добавьте в код нужные символы, и тогда Ваш фрагмент y[sub]0[/sub] после отправки поста на сервер превратится в y0 (символ маленького нуля в нижнем индексе).

Решение задач, похожих на Вашу, хорошо описано в учебной статье "Как найти частное решение ДифУра приближённо с помощью ряда?" Ссылка. Сами справитесь?
Вика Зотова

Посетитель

ID: 405866

324747

= общий =    12.03.2022, 08:10
Здравствуйте, спасибо за помощь с нижним регистром.

Насчет решения, я тоже находила данную статью. Но немного не уверена в решении, если есть возможность, я бы посмотрела Ваше вариант.
Я сама изучаю данную тему. поэтому никуда не тороплюсь.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

324748

= общий =    12.03.2022, 09:08
Здравствуйте, Вика! Я ответил на Ваше приветствие, но по традициям Портала не принято засорять посты мини-форума приветами.
Моя специальность: Электроника, КИП иАвтоматика, я никогда не решал ДУ методом их разложения в степенной ряд. Сейчас я скачал выше-указанную статью, оптимизирую её копию (очищаю от реклам, заменяю 200 картин-формул на компактные html-тэги), изучаю мат-методы…
Вы писали "Я сама изучаю данную тему… никуда не тороплюсь" - очень хорошо! Ч-з сутки - двое я отправлю Вам подробное Решение с Проверкой. Возможно, Вашу Консультацию посетят профессиональные математики и ответят раньше. smile
Вика Зотова

Посетитель

ID: 405866

324750

= общий =    12.03.2022, 10:38
Спасибо большое, буду ждать.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.