Условие : ДУ (Дифференциальное уравнение) : y' = x² + y² ; Начальное условие : y(0) = 2 .
Вычислить 3 первые отличные от нуля члена разложения в степенной ряд.

Решение : Берём за основу алгоритм, хорошо описанный в учебной статье "Как найти частное решени ДУ приближённо с помощью ряда?" Ссылка1 , где в Примере3 рассмотрено такое же, как у Вас ДУ с чуть другим Начальным условием.

Разложение частного решени y = y(x) ДУ при начальном условии y(x₀) = y₀ имеет общий вид:
y(x) = y(x₀) + [y'(x₀) / 1!]·(x - x₀) + [y''(x₀) / 2!]·(x - x₀)² + [y'''(x₀) / 3!]·(x - x₀)³ + …
В нашем случае: x₀ = 0 , y(x₀) = y(0) = 2 . При x₀ = 0 общий ряд Тейлора вырождается в упрощённый ряд МаклОрена :
y(x) = y(0) + [y'(0) / 1!]·x + [y''(0) / 2!]·x² + [y'''(0) / 3!]·x³ + …

Первая производная y' = x² + y² дана в Условии.
В правую часть y' = x² + y² подставим x = x₀ = 0 , y = y(0) = 2 :
y'(0) = 0² + (2)² = 0 + 4 = 4 [$8800$] 0 .

Вычислим вторую производную : y'' = (x² + y²)' = 2·x + 2·y·y'
Подставим x = x₀ = 0 , y = y(0) = 2 , y' = y'(0) = 4 :
y''(0) = 2·x + 2·y·y' = 2·0 + 2·2·4 = 0 + 16 = 16 [$8800$] 0

Вычислим третью производную : y''' = (2·x + 2·y·y')' = 2·x' + 2·(y'·y' + y·y'') = 2 + 2·[(y')² + y·y'']
Подставим x = x₀ = 0 , y = y(0) = 2 , y' = y'(0) = 4 , y'' = y''(0) = 16 :
y'''(0) = 2 + 2·[(y')² + y·y''] = 2 + 2·(4² + 2·16) = 2 + 2·(16 + 32) = 2 + 2·48 = 98 [$8800$] 0

Таким образом, искомое приближённое разложение частного решения:
y(x) [$8776$] y(0) + [y'(0) / 1!]·x + [y''(0) / 2!]·x² + [y'''(0) / 3!]·x³ = 2 + (4/1)·x + (16/2)·x² + (98/6)·x³
Ответ : 3 первые члена разложения в степенной ряд: y(x) [$8776$] 2 + 4·x + 8·x² + (49/3)·x³

Проверка : Для выполнения проверки я попытался получить точное значение Решения на Онлайн-решателях ДУ. Однако, mathdf.com/dif/ru/ возвратил: "Не удалось найти решение для дифура y' = x² + y² либо Решение в элементарных функциях НЕ существует". wolframalpha.com/ возвратил очень громоздкую дробь с большими и сложными Якобианами! Популярное приложение Маткад (ссылка2) вычислило Вашу функцию с высочайшей точностью (15 знаков!). Маткад-скриншот с таблицей числовых значений и графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Вам повезло с Начальным условием (ряд Маклорена чуть проще, чем ряд Тейлора), но НЕ повезло с исходным ДУ. Полученный ряд НЕ есть быстро-сходящийся, и поэтому кривая приближённого Решения (3х-членного ряда) сильно отличается от кривой Точных значений при больших значениях x-аргумента. Надо вычислить много членов ряда, чтобы расширить область совпадения кривых.
Но в окрестности Начального условия (в интервале малых значений "x") мы видим, что обе кривые полностью совпадают. Значит, проверка успешна!