Даны 3 линии: y1(x) = sin(x) , y2(x) = cos(x) , x = X0 = 0 - границы области D .
Сначала читаем хорошую учебную статью по Вашей теме "Двойные интегралы для чайников" Ссылка.
Затем строим график области D интегрирования и пишем формулу искомой площади в общем (стандартном) виде:
S = _D[$8748$]f(x,y)·dx·dy
В нашей простой задаче вычисления площади функция f(x,y) = 1 (фиктивный множитель). (Эта функция будет отлична от 1 в более сложных задачах, где каждая элементарная ячейка площади dx·dy будет имеет уникальность (разную высоту z-колонны в 3х-мерных фигурах, разную плотность пластин…)

Область D ограничена снизу y1 , сверху y2 , слева X0 .
Границу X1 = [$960$]/4 получаем приравниванием функций y1(x) = y2(x) (на их пересечении).

Переходим от двойного интеграла к двум повторным интегралам:
S = _D[$8748$]f(x,y)·dx·dy = _X0^X1[$8747$]dx·_y1(x)^y2(x)[$8747$]1·dy

Вычисляем сначала внутренний (правый) интеграл :
iy(x) = _y1(x)^y2(x)[$8747$]1·dy = _sin(x)^cos(x)[$8747$]1·dy = y |_sin(x)^cos(x) = cos(x) - sin(x)

Затем внешний интеграл S = _X0^X1[$8747$]iy(x)·dx = ₀^[$960$]/4[$8747$][cos(x) - sin(x)]·dx = ₀^[$960$]/4[$8747$]cos(x)·dx - ₀^[$960$]/4[$8747$]sin(x)·dx =
= sin(x) |₀^[$960$]/4 - [-cos(x) |₀^[$960$]/4] = [sin(x) + cos(x)] |₀^[$960$]/4 = sin([$960$]/4) + cos([$960$]/4) - [sin(0) + cos(0)] = [$8730$]2/2 + [$8730$]2/2 - 0 - 1 = [$8730$]2 - 1 [$8776$] 0,41

Ответ: Площадь фигуры D равна [$8730$]2 - 1 [$8776$] 0,41 ед² , что легко сверить с размером области, выделенной жёлтой заливкой на графике. График прилагаю. Площадь одной координатной клеточки равна 0,5·0,5 = 0,25 ед².

Спасибо большое за ваше подробное решение, вы меня очень выручили

Я рад, что мой труд принёс Вам пользу. Наздоровье Вам!