Условие: L = 20 мГн; R₁ = 2 кОм; R₂ = 2 кОм; R₃ = 2 кОм; E = 10 B.
Рассчитать все токи и напряжение на L в 3 момента времени t = 0-, 0+, [$8734$].
Рассчитать классическим методом переходный процесс в виде i₂(t), i₃(t), U_L(t),
Вычислить длительность переходного процесса, соответствующую переходу цепи в установившееся состояние с погрешностью 5%.

Решение: Ваша RL-цепь содержит т-ко 1 реактивный элемент L . В предложенной Вами методичке "Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа" Ссылка1 переходный процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка, имеющего обобщённый вид
U(t) = R·i_L + U_L(t) , где U_L(t) = L·di/dt

Согласно описанию Классического метода ищем Решение уравнения в виде суммы 2х составляющих :
i(t) = i_пр + i_св(t)[$8195$] [$8195$] (1)
здесь i_пp - принуждённая составляющая тока, обусловленная действием источника напряжени E ,
i_св(t) - свободная составляющая тока, обусловленная свободными переходными процессами, протекающими в цепи без участия источника E .
Требование применить Классический метод принуждает нас использовать Характеристическое уравнение. Как составить это Характеристич уравнение? - алгоритм хорошо описан в другой методичке "Классический метод расчёта переходных процессов" Ссылка2 . Следуем его пунктам:

1. Расчёт цепи до коммутации и определение начальных условий (токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях). До коммутации ток в цепи постоянный, поэтому ёмкость (где она присутствует) заменяем разрывом цепи, а индуктивность - перемычкой.
Применительно к Вашей эл-схеме : Вычисляем токи i₁, i₂, i₃ и напряжение u_L в момент времени t = 0- . Ключ К исходно разомкнут, ток проходит через элементы R1, R2, L . Катушка индуктивности в этот момент коротко-замкнута. Тогда:
u_L = 0[$8195$] ,[$8195$] i₂(0-) = E / (R₁ + R₂) = 10 B / (2 кОм + 2 кОм) = 2,5 мА ,
i₁(0-) = i₂(0-) = 2,5 мА[$8195$] ,[$8195$] i₃(0-) = 0 .

2. Расчёт цепи после коммутации и определение принуждённой составляющей решения. После коммутации в момент t = [$8734$] ток также постоянен, поэтому снова заменяем индуктивность перемычкой :
u_L = 0 , i₂([$8734$]) = E / R₁ = 10 B / 2 кОм = 5 мА , i₁([$8734$]) = i₂([$8734$]) = 5 мА , i₃([$8734$]) = 0 .

3. Составление характеристического уравнения цепи: Из цепи, сложившейся после коммутации, исключаем источник энергии. Производим разрыв цепи в любой, произвольно выбранной точке. В Вашем случае удобнее всего заменить источник E разрывом цепи.

Заменяем элементы цепи их комлексными сопротивлениями, вычисляем входное сопротивление полученной цепи относительно точки разрыва. Для момента времени t+ получаем:
Z(j·[$969$]) = R₁ + 1 / (1 / j·[$969$]·L + 1 / R₃)
Произведение j·[$969$] заменяем на оператор p : Z(p) = R₁ + 1 / (1 / p·L + 1 / R₃)
Приравниваем найденное сопротивление нулю : R₁ + 1 / (1 / p·L + 1 / R₃) = 0 - характеристическое уравнение составлено

Вычисляем p-корни характеристич-го уравнения: 1 / (1 / p·L + 1 / R₃) = -R₁
1 / p·L + 1 / R₃ = -1 / R₁
p·L = -1 / (1 / R₁ +1 / R₃) = - R_э
Здесь R_э = 1 / (1 / R₁ +1 / R₃) = R₁·R₃ / (R₁ + R₃) = 2·2 / (2 + 2) = 1 кОм - эквивалентное сопротивление параллельно-соединённых резисторов R₁, R₃ .

Единственный корень p = - R_э / L = 1 кОм / 20 мГн = 0,05 мксек^-1
Постоянная времени [$964$] = 1 / |p| = 20 мксек.
Свободная составляющая тока i_св = A·e^p·t = A·e^-t/[$964$] , где А - постоянная интегрирования.
Вы можете вычислять в международной системе СИ, это избавит Вас от приставок кило, микро, но вынудит использовать множители типа 10³, 10^-6 … Инженеры-практики предпочитают использовать приставки, теоретики - множители.

Для вычисления постоянной интегрирования запишем уравнение для тока i₂ :
i₂(t) = i₂([$8734$]) + A·e^-t/[$964$]
Учтём начальные условия для i(2) и закон коммутаци: i₂(0-) = i₂(0+) = 2,5 мА , i₂([$8734$]) = 5 мА.
i₂(0+) = 2,5 = 5 + A·e^0/[$964$] = 5 + A·1 = 5 + A
Таким образом, A = 2,5 - 5 = -2,5 мА .
Мы получили выражение для тока i₂(t) = 5 - 2,5·e^-t/[$964$] в миллиАмперах.

Вычислим напряжение u_L на индуктивности дифференцированием выражение тока i₂(t) :
u_L(t) = L·di_L / dt = L·(5 - 2,5·e^-t/[$964$])' = L·[5' - 2,5·(e^-t/[$964$])'] = L·(0 - 2,5·(-1/[$964$])·e^-t/[$964$]) = (2,5·L / [$964$])·e^-t/[$964$]
Подставляем L = 20 мГн, [$964$] = 20 мкс , ток в мА, тогда приставки милли·милли в числителе и мк знаменателе сокращаются:
u_L(t) = (2,5·20 / 20)·e^-t/[$964$] = 2,5·e^-t/[$964$] Вольт.

Вычислим i₃(t) по закону Ома: i₃(t) = u_L(t) / R3 = (2,5·e^-t/[$964$] В) / (2 кОм) = 1,25·e^-t/[$964$] мА .
Ответ: До коммутации i₂ = 2,5 мА, i₃ = U_L = 0 .
После коммутации i₂(t) = 5 - 2,5·e^-t/[$964$] мА, i₃(t) = 1,25·e^-t/[$964$] мА , u_L(t) = 2,5·e^-t/[$964$] В .
Длительность переходного процесса по уровню 5% [$8776$] 60 мкСек. График, выполненный в приложении Маткад (ссылка3) прилагаю.