1. На вашем рисунке изображены не магнитные поля, а электрические.
2. Обычно говорят о направлении вектора нормали ([$8594$]n) к поверхности площадью S (или к элементу dS). Может, конечно, это только моя недоучёность, но о направлении вектора площади я слышу впервые. Площадь - величина скалярная.
Думаю, вам следует уточнить вопрос у преподавателя...
p/s если что, то нормаль или нормальный вектор - вектор перпендикулярный чему-либо, в данном случае, если речь идет об этом, - перпендикулярный площади dS. Подробнее - читайте в литературе.

Вы спрашивали "Спросил он меня куда направлен dS на рисунке" - я менял очки, приглядывался, но так и не увидел dS на Вашем рисунке.
"куда направлен вектор dS" - нет такого понятия. Но бывают случаи, когда ориентация плоскости очень важна (именно от дневной ориентации элементов поверхности земного полушария к Солнцу меняются времена года). Направленность площадки характеризуют её вектором нормали, о котором достаточно подробно и легко-доступно написано в учебной статье "Уравнение плоскости" Ссылка .

Ответ во вложении

Вы показали полезный для всех проект Ответа. Спасибо Вам за доходчиво-сформулированную информацию! Но зачем Вы затолкали полезную суть в тяжёлую и заморочную Word-оболочку? Мой простенький, устаревший Office2007-Standard не смог сходу открыть Вашу скаченную копию и выдал ошибку конфликта версий (прилагаю скриншот).
После некоторых манипуляций мне удалось увидеть Ваш контент. Я предлагаю Вам опубликовать его в качестве ответа в простом формате текст+картинка (без запихивания в Word-оболочку). Тогда Ваша инфа будет сразу отображена на странице, без искусственных препятствий для скачивания.
Для читателей, которым тоже не удалось открыть Ваш Word-файл, публикую его контент ниже.

Вектор площади может быть определён как произведение величины площади на единичный вектор нормали к этой площадке (см рисунок). Выбор направления нормали, вообще говоря, произволен, но чаще всего нормаль выбирают в направлении перемещения буравчика (или правого винта), который вращается в направлении обхода площадки, когда площадка остаётся слева (как на картинке сверху).
Если вы имеете дело с потоком вектора напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность, то чаще всего нормаль выбирают внешнюю (картинка снизу).

Мой простенький, устаревший Office2007-Standard не смог сходу открыть Вашу скаченную копию

мой ворд открыл.