Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор


ID: 401284

Михаил Александров

Советник


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт


ID: 400669

epimkin

Профессионал


ID: 401888

puporev

Профессор


ID: 405239

al4293189

4-й класс


8.13.11

14.01.2022

JS: 2.13.38
CSS: 4.8.5
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2022-01-27 07:16:01-standard


Консультация онлайн # 201989

Раздел: Физика
Автор вопроса: al4293189 (4-й класс)
Дата: 27.12.2021, 09:14 Консультация закрыта
Поступило ответов: 0
Здравствуйте! Прошу помощи в следующей задаче:
Между закреплёнными гладкими плитами вставлена прямая однородная призма, основание которой представляет собой равносторонний треугольник со стороной a (см. рисунок). При каких значениях расстояния L между плитами призма будет находится в устойчивом равновесии, если одна из боковых граней является горизонтальной?
Указание. При решении задачи могут оказаться полезными следующие приближенные соотношения для тригонометрических функций малых углов α (α << 1, [α] = рад):
cos α ≈ 1 - α2 / 2, sin α ≈ α.
Прошу Вас не использовать теоремы Ляпунова и теорему Лагранжа-Дирихле, т.к. таковы требования составителя. Помогите пожалуйста решить задачу через рассмотрение малого отклонения от равновесия (например на угол α << 1). Просто я не понимаю что делать дальше. Помогите пожалуйста.

-----
Прикрепленные файлы:


Ответов еще не поступило.

Мини-форум консультации # 201989

al4293189

4-й класс

ID: 405239

323660

= общий =    27.12.2021, 09:33
И неясно, какое еще состояние возможно для системы (т.е. в какое состояние она придет будучи неустойчивой после малого смещения). Возможно, целесообразным будет решить задачу через теорему Лагранжа-Дирихле (только как?), но только для самопроверки альтернативного решения.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323661

= общий =    27.12.2021, 11:25
Стиль Условия задачи очень похож на некорректно-сформулированную сыромятину от "Сириус". Их задачи всегда приходится домысливать. По моим догадкам, на чертеже показано сечение призмы, перпендикулярное её трём параллельным рёбрам, верно?
То есть, призма неизвестной длины лежит на прямоугольных рёбрах м-ду плит.

Вы спрашивали : "какое еще состояние возможно для системы" - похоже, Вы учитесь в школе, а Сириус-препод зачем-то преждевременно мучит Вас институтскими задачами на Устойчивость систем, не утруждая себя стараниями научить Вам учебному материалу. И поэтому Вы просите, чтоб Вас учили эксперты rfpro . Надо ли продолжать учиться у недобросовестных преподов? - это дело не моё, а Ваше и Ваших родителей.

По существу Вашего вопроса мне думается, Вам сейчас подойдёт тема "Устойчивость в малом", см статью "Понятие устойчивости. Условия устойчивости линеаризованных систем" Ссылка .

Ваша призма имеет так называемую "Устойчивость в малом", то есть при достаточно малых отклонениях призмы вправо/влево по рисунку, призма будет возвращаться в исходное положение по окончании воздействия. Проявляя при этом ограниченную устойчивость.
Но при больших воздействиях, когда вертикаль-проекция центра тяжести призмы пересечёт вертикаль-проекцию грани к-либо плиты, призма опрокинется. Такая устойчивость характерна для малых L-значений.
Для больших L призма-положение будет "устойчивым в большом".
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323667

= общий =    27.12.2021, 16:24
Вообще задача не от образовательного центра "Сириус" (как у многих других авторов консультаций Портала), а от СУНЦ МГУ; я уже не в школе, физика - моё второе образование, на которое я обучаусь. Теперь переходим к вопросам по задаче: (мне сегодня удалось получить на них ответ от составителя). На рисунке действительно показано сечение призмы перпендикулярно её сторонам. Длина призмы не известна, но можно считать что всё движение происходит "в плоскости сечения призмы". Под фразой " какое ещё состояние системы возможно" я подразумеваю, что неясно останется ли призма в состоянии равновесия если её наклонить и она будет в наклонённом состоянии. Нам рассказали про устойчивое равновесие только на примере шарика в начале статьи, которую Вы отправили. Составитель считает что этой информации достаточно для решения задачи.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323670

= общий =    27.12.2021, 16:59
На Ваш вопрос "останется ли призма в состоянии равновесия если её наклонить и она будет в наклонённом состоянии" я уже ответил постом выше: "при достаточно малых отклонениях призмы вправо/влево по рисунку, призма будет возвращаться в исходное положение по окончании воздействия. Проявляя при этом ограниченную устойчивость.
Но при больших воздействиях, когда вертикаль-проекция центра тяжести призмы пересечёт вертикаль-проекцию грани к-либо плиты, призма опрокинется
"
Вам осталось составить уравнение пограничного состояния и оформить ответ неравенством, подходящим по смыслу.
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323672

= общий =    27.12.2021, 17:28
У меня получился ответ L ∈ [1/4·a, a). К сожалению не хочется тратить оставшуюся попытку для сдачи решения без тщательной проверки, поэтому прошу Вас сравнить мой ответ с Вашим.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323680

= общий =    28.12.2021, 04:38
Ваша задача ещё вчера стучалась в мой мозговой обработчик проблем, а сегодня внаглую приснилась мне. Пришлось вставать до рассвета изпод тёплого одеяла. Навязчивая идея крутилась построить в Маткаде призму, отклонённую на угол α от исходного положения и посчитать геометрич-сумму опрокидывающих векторов. Но Вы уже предложили готовый Ответ, в котором совсем нет критических углов отклонения.

Давайте покритикуем Ваш Ответ (я в роли оппонента). Ваша часть L < a понятна, тк в противном случае призма провалится м-ду плит.
Но Ваше L ≥ a/4 означает Ваш запрет на значения типа L = a/8 . Хотя призма при малом L будет устойчива в малом. Выходит, такой тип устойчивости надо отбраковывать, несмотря на его НЕупоминание в Условии? Ваш Составитель хочет получить от Вас исключительно абсолютную устойчивость? Вы уверены? Почему он не указал об этом в Условии?

P.S: А какое наказание будет Вам за истраченную-неудачно последнюю попытку сдачи решения? Вас оштрафуют продажей Вам подробного правильного (по мнению составителя) Решения? Или не переведут на выше-уровень?
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323681

= общий =    28.12.2021, 07:15
Я хотел бы прикрепить своё решение которое требует проверки . Суть этого решения в том, что мы сначала выражаем потенциальную энергию клина относительно поверхности прямоугольных опор через угол поворота
φ левой стороны клина относительно вертикали (в рассматриваемый момент времени φ = 30°). Первая производная равна 0, это говорит о том, что состояние претендует на то, чтобы сохранять призму в равновесии. Вторая производная зависит от a и L, поэтому чтобы она была положительной (тогда это минимум потенциальной энергии), мы решаем несложное неравенство. Отсюда я и получил L ∈ [1/4·a, a).

-----
Прикрепленные файлы:

al4293189

4-й класс

ID: 405239

323682

= общий =    28.12.2021, 07:22
В исследовании первой производной на равенство её нулю и заключался мой второй вопрос "какое ещё состояние возможно для системы". Действительно, у выражения mg/3·(a(cos(30+φ) - sin(φ)) - 2√(3) L · cos(30+2φ) ) есть не один корень, только решать это уравнение сложно и неприятно, особенно вручную.
Алексей Гладенюк

Руководитель

ID: 5

323684

= общий =    28.12.2021, 09:06
test
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323686

= общий =    28.12.2021, 10:49
11 входящих писем от rfpro прибыло, в тч Ваш test !
Большое Вам Спасибо за восстановление почты, Алексей Георгиевич!
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323690

= общий =    28.12.2021, 12:02
Я попытался скачать Ваш прикреплённый Задача.pdf , но мой браузер отвечает "Firefox не может найти файл https://rfpro.ru/mfa/323681-b2ad91a98bde6db372f07764a4a8560d675c3c48.pdf". Может, Вы его прикрепили, а затем удалили? Пытались ли Вы сами скачать свой файл для проверки такой возможности для посетителей Вашей консультации?
Вы ответили НЕ на все мои выше-вопросы. А у меня к Вам новый вопрос: Обязательно ли Вам надо, чтобы я решал задачу ч-з потенциальную энергию, а потом разгадывал толкование 2й производной?
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323692

= общий =    28.12.2021, 12:25
Владимир Николаевич, вот ответы на оставшиеся вопросы:
1. Для значения L = a/8 положения равновесия действительно может быть неустойчивым. При малом повороте система может сместиться в сторону немного иного положения равновесия, при котором первая производная dП / dφ будет равна нулю (это претендует на то, чтобы быть равновесием) а вторая производная d2П / dφ2 > 0, то есть это устойчивое положение. То есть возможно, что при малом сдвиге система будет, вращаясь, приходить немного в иное состояние.
2. По причинам, описанным выше, можно считать, что при малом сдвиге система будет стремится выйти из указанного состояния (равновесие неустойчиво), поэтому этот ответ не стоит отбраковывать как заведомо неправильный. Иное состояние равновесия: это не случай, когда призма лежит на прямоугольнике, вместо этого возможно случай, когда угол между стороной призмы (которая не вертикальна) не равен 30°. Первичное представление не должно противоречить возможности такого состояния.
3. Система не должна быть абсолютно устойчивой, только при небольших отклонениях dφ << 1.
Я несколько раз перечитал Ваши сообщения в минифоруме данной консультации и искренне надеюсь, что ответил на все вопросы, которые Вы задали. Если я что-то пропустил, прошу Вас мне это напомнить. Сожалею, что Вам не удается открыть файл, поэтому в ближайшее время пришли вместо pdf-файла 2 небольших картинки, которые Ваш компьютер откроет (все надежды только на это).
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323694

= общий =    28.12.2021, 12:32
Я не сразу заметил, что Вы публиковали 2 pdf-файла. Мне только что удалось скачать Ваш первый файл из Вашего поста rfpro.ru/question/201989#323681 . Прошу прощения.
Мне трудно понимать чужие рукописные формулы, на это уходит много времени. Когда человек пишет каракули, он часто что-то упрощает или не поясняет, потому что в его собственном мозгу всё это есть полностью в переваренном виде. Мне проще решить по-своему. Но это тоже получится не быстро (дедушке скоро 70).

Меня интересует Ваш неотвеченный "какое наказание будет Вам за истраченную-неудачно последнюю попытку сдачи решения? Вас оштрафуют продажей Вам подробного правильного (по мнению составителя) Решения? Или не переведут на выше-уровень?"
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323696

= общий =    28.12.2021, 12:56
Владимир Николаевич, если Вам не удается понять мой почерк, я могу написать решение текстом (только картинку не смогу таким образом сделать). Стоит ли мне это начинать?
Ответ на интересующий Вас вопрос: если я истрачу последнюю попытку, то не получу баллы за задачу в общий рейтинг учащихся. Соответственно, если так продолжится, то я не смогу войти в топ-150 учащихся факультета и у нас будут проблемы, связанные с непрохождением на следующий семестр. Придется тогда что-то сложное решать (более сложное, чем то что сейчас).
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323697

= общий =    28.12.2021, 13:24
Спасибо, что удовлетворили моё любопытство! Мне понравилась Ваша идея с потенциальной энергией, она даже попроще моих проектов с крутящими моментами.
Вы спрашивали "Стоит ли мне это начинать?" - передохните пока, я доложу Вам свой результ. Возможно, завтра утром (у нас уже 20 час по Владивостоку). Я постараюсь унаследовать Ваши обозначения ABC против часовой.
А какая Ваша первая специальность, если не секрет? В Вашей рег-карте Вы скромно умолчали о себе.
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323698

= общий =    28.12.2021, 13:34
Вообще у меня есть ещё историческое образование. К сожалению, история непопулярна в нашем городе, поэтому приходится переучиваться на физику.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323702

= общий =    28.12.2021, 18:26
Я сделал расчёты в Маткаде с чертежом, скрин прикрепляю, а ниже показываю таблицу. Анализ данных таблицы показывает, что Вы сделали расчёт вроде бы правильно. При L = a/8 призма сразу заваливается набок, тк при всех углах наклона потенци-энергия уменьшается с увеличением наклона.
При L = a/2 призма работает как Ванька-встанька. Но Ваше пограничное значение L = a/4 - какое-то рискованное для равенства. Мне кажется, его благоразумнее заменить на НЕравенство L > a/4 . Но я уже устал, у нас час ночи. Может, Вы что-то лучше придумаете?

φ  h при L = a/8
0  3,753  сразу падает
π/12  3,673
π/4  2,977
π/3  2,309

φ  h при L = a/4
0  2,887
π/120  2,887  безразличное состояние в окрестности φ = 0
π/12  2,884
π/4  2,689
π/3  2,309

φ  h при L = a·0.26
0  2,817
π/12  2,821  устойчивость в малом
π/4  2,666
π/3  2,309

φ  h при L = a/2
0  1,155  абсолютная устойчивость
π/12  1,307
π/4  2,111
π/3  2,309
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323733

= общий =    29.12.2021, 05:36
Я построил графики в Маткаде (скрин прикрепляю) в зависимости от угла φ отклонения. h - высота центра тяжести призмы над плитами (величина, эквивалентная потенциальной энергии), p1, p2 - первая и 2я производные от h соответственно.
На графике видно, что на заявленной Вами границе L = a/4 условие "При каких значениях расстояния L между плитами призма будет находится в устойчивом равновесии" НЕ выполняется, есть лишь НЕустойчивое равновесие (2я производная равна 0).
Но если расстояние L чуть увеличить, то начинает появляться маленькая зона устойчивого равновесия ("в малом"). На правом рисунке есть чуть заметная впадинка на h-графике.
При увеличении L впадинка углубляется, а φ-зона устойчивости расширяется вплоть до "a".
Я советую Вам подкорректировать свой Ответ составителю на двустороннее строгое неравенство a/4 < L < a .
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323740

= общий =    29.12.2021, 11:31
Спасибо большое за совет, но составитель считает, что безразличное состояние равновесия - это подслучай устойчивого равновесия, поэтому если при L = a/4 состояние безразличное, то он требует, чтобы этот подслучай включался в ответ (в предыдущей задаче составитель к этому придирался).
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323741

= общий =    29.12.2021, 12:03
Странный у Вас составитель (мягко-выражаясь). Во-первых : безразличное и устойчивое равновесия имеют чёткие (а не размытые) определения, см статью "Фундаментальная физика \ Виды равновесия" fphysics.com/vidy_ravnovesiya.
Во-вторых : Ваш спорный случай на границе L = a/4 есть самое настоящее НЕустойчивое (а не безразличное) равновесие. Чуть наклон - и призма заваливается. Сопоставьте свою призму с картинками-образцами из выше-указанной статьи.
Однако, у Вас ситуация подвластна причудам составителя (а может и на составителя какой-нибудь чиновник давит?). Вам виднее, как поступить. Удачи Вам в учёбе! smile
PhysMath

Посетитель

ID: 405695

323760

= общий =    30.12.2021, 00:10
Здравствуйте, так и какое же решение?
А то pdf файл пуст, а познакомиться с решением, было бы здорово или это какой-то секрет?
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323761

= общий =    30.12.2021, 04:20
Вы писали "pdf файл пуст" - на самом деле файл НЕ пуст, на ссылке для скачивания обозначен объём 2,99 МБ. Но скачать его НЕ удаётся. На ГлавСтранице объявление "В данный момент мы производим некоторые никому не нужные работы на сервере. Еще немного и все будут счастливы" - возможно, после профилактических работ ещё не полностью восствновлен функционал сервера. И надо подождать несколько часов.

А может Вы пытались скачать вторую, порченную ссылку, по кот-й и мне не удалось скачать (я писал об этом выше), сейчас этой ссылки не стало. Осталась одна, пост # 323681 Ссылка, я скачал с неё pdf 28 декабря, сейчас попытка уже не удаётся (пробная для Вас).

Но если право-обладатель al4293189 не запретит, я могу опубликовать здесь его решение повторно для Вас. Правда, я очень не люблю избыточно-объёмные pdf-файлы, запрещающие редактирование изображений (обрезка, контраст, удаление клякс…). Поэтому я конвертировал исходное изображение в 2 удобненьких gif-файлика общим объёмом 172 кБ без потери качества.
PhysMath

Посетитель

ID: 405695

323762

= общий =    30.12.2021, 05:43
Спасибо Вам большое за разъяснение ситуации.
Перед тем как писать Вам, я тщательно ознакомился с перепиской и поэтому уже знал, какая из ссылок рабочая. Однако спустя 10 часов после 1-ой попытки мой Хром всё ещё выдаёт: Failed - No file, сразу же после запуска скачивания именно второй, вроде бы рабочей, ссылки. Так что как ни истолкуй, а суть не меняется - недоступен мне файл, к сожалению:-)

А зачем нужно разрешение автора решения, если он уже выложил в открытый доступ файл с решением, которое нельзя скачать лишь из-за неполадок на сервере, а не потому, что автор ограничил доступ к файлу или удалил его?

Буду весьма признателен, если всё-таки удастся ознакомиться с решением такой интересной задачки избранным al4293189 способом. GIF-ка это самое то.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323763

= общий =    30.12.2021, 07:34
Вы правы, задачка и впрямь интересная. Надеюсь, уважаемый al4293189 не обится за повторную публикацию его трудов?

"GIF-ка это самое то" - верно, это - лучший промежуточный формат при первичной конвертации из pdf/word/jpg избавиться от ненужных полутонов для получения компактно-контрастных копий чертежей, схем, текста. Но программа сервера rfpro "не уважает" gif и формирует пустые gif-миниатюрки прикреплённых картинок. Поэтому прикрепляю картинки в более современном png-формате.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323768

= общий =    30.12.2021, 15:06
5-суточный срок жизни Вашей консультации истекает, пора подытожить.
Старики говорили : "Хочешь понять врага - представь себя на его месте". Ваш составитель не враг, конечно, но оппонент. И я попытался мыслить его понятиями, как Вы написали "составитель считает, что безразличное состояние равновесия - это подслучай устойчивого равновесия".

Сегодня я стал высматривать на графике h(φ) горизонтальную полочку хоть какой-то определённой длины при сильном увеличении масштаба, чтоб сопоставить эту полочку безразличному состоянию Вашей призмы. Полочка коротенькая вроде бы видна на выше-графике и даёт надежду на её расширение при масштабировании графика. Я много-кратно масштабировал.

Каждый раз при увеличении масштаба по вертикали края ровной части полочки спускаются вниз, ровная часть сужается. Я расширяю её горизонтальным масштабированием. Но при повторном вертикальном масштабировании края ровной части полочки снова спускаются вниз, я дошёл до 8 знаков точности! Но ширина ровной полочки НЕ ограничивается (чертёж прилагаю ниже). Этот процесс нескончаемый. И это значит, что никакого безразличного состояния равновесия с ровным горизонтальным участком (как в статье с образцом безразличного состояния) мы тут НЕ найдём, это чистейшее НЕустойчивое равновесие! И назвать его подслучаем Устойчивого равновесия - это ненаучно и анти-педагогично!
Можно ещё повозиться с Вашей задачей и решить её методом опрокидывающих векторов реакций опор. Но как в армейском анекдоте если начальник сказал "Это люминь" то нельзя пытаться доказывать ему, что это сталь, не алюминий, так и в Вашей ситуации зависимости от Составителя Ваших задач бесполезно продолжать раскопки Истины. На и этом закончим?
PhysMath

Посетитель

ID: 405695

323771

= общий =    30.12.2021, 22:05
Спасибо Вам большое за решение!
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323773

= общий =    31.12.2021, 02:38
НаЗдоровье Вам! smile
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323775

= общий =    31.12.2021, 07:12
Спасибо большое за решение, тем более составитель вчера нам представил нам решение с помощью опрокидывающихся векторов длиной 3 страницы, получив такой же ответ. Но когда он решал, он получил все-таки нестрогое ограничение a/4 ≤ L < a!
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323787

= общий =    31.12.2021, 16:20
Вы писали : "составитель позавчера нам представил нам решение с помощью опрокидывающихся векторов длиной 3 страницы… он получил все-таки нестрогое ограничение a/4 <= L < a" - я не верю в правильность решения Вашего составителя. Можно с трудом согласиться с правилом его учеб-заведения, будто "безразличное состояние равновесия - это подслучай устойчивого равновесия". Но где он увидел "безразличное состояние"? Я увидел только устойчивое равновесие (при больших L чуть меньше "a") и НЕустойчивое при L ≤ a/4 . Зона устойчивого равновесия сужается при уменьшении L , но нет ровной площадки, характерной для безразличного состояние равновесия.

Я пошёл на поводу Вашего составителя и потратил время на решение абстрактным методом ч-з потенциальную энергию. Чтобы решить пограничный спор, надо решать более явным методом с применением векторов сил реакции опоры. Алгоритм решения не сильно сложен: Поскольку плиты гладкие, значит трением пренебрегаем, а векторы реакции опор направлены перпендикулярно опирающимся на них граням призмы. Получив разложение векторов на вертикальные и горизонтальные составляющие, заменяем призму коромыслом - отрезком, тонкой балкой, лежащей на углах плит. Сверху на балку давит центр тяжести призмы, но не точно посредине, а с небольшим смещением в зависимости от угла φ наклона призмы. Сумма вертикальных составляющих реакций равна весу призмы (для составления уравнения). Тогда разность горизонтальных составляющих даст вращающий момент призмы.

Если Вам очень надо, я могу потратить ещё день времени на решение этой задачи в Маткаде. Для этого либо попросите модераторов продлить консультацию либо создайте повторную. Но будет жаль потерянного времени, если Ваш составитель признает Маткад-решение НЕлегитимным, либо просто задавит Вас своим авторитетом. Вам виднее, как поступить.

Я поздравляю Вас с повышением Вашего экспертного статуса и с наступающим Новым годом. У нас 2022й наступит ч-з 40 минут. smile
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323798

= общий =    31.12.2021, 17:30
Спасибо большое за поздравления! Я тоже поздравляю Вас с Новым Годом, который случится через 6.5 часа в нашем городе! Решать другим способом нашу задачу уже не требуется, т.к. это уже будет неактуально!
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.