Извините, пожалуйста, за беспокойство, но хотелось бы узнать, что непонятно Вам, получающей углублённое математическое образование, в задании, коль Вы обратились за решением на ресурс, где консультации по математике дают любители.

Вы уже долго "сидите" сегодня на портале... Пусть Вы не хотите ответить на мой предыдущий вопрос. Тогда сообщите, пожалуйста, почему Вы не можете выполнить задание самостоятельно. Разве например, у меня больше способностей к решению математических задач, чем у Вас?

не совсем хорошо понимаю, чем ограничить интегралы

не совсем хорошо понимаю, чем ограничить интегралы

Вы рассмотрели примеры решения аналогичных задач в рекомендованных Вам пособиях?

"чем ограничить интегралы" - поверхность цилиндра с осью OZ , высотой от z=0 до z=3, боковая поверхность - пояс-окружность x^2 + y^2 = 1 (лента шириной 3, свёрнутая в окружность).

рисунок представляю. по dr ограничено от 0 до 1. а остальные по dфи и dтэта?

Почему бы Вам не воспользоваться формулой Остроградского -- Гаусса?

И повторю свой предыдущий вопрос:

Вы рассмотрели примеры решения аналогичных задач в рекомендованных Вам пособиях?

да, смотрела. но здесь у меня пробел в тригонометрии. надо решить непосредственно, поэтому разложила на три интеграла: dr, dфи и dтэта

(при переводе в полярные координаты)

Я плохо понимаю смысл Ваших сообщений. Поэтому выхожу из мини-форума. Прошу извинить!

Я тоже плохо понимаю Ваши сообщения в на-редкость разгильдяйском стиле. Первые 1,5 суток я надеялся на то, что я возможно самый глупый и недогадливый, а придут на эту страницу эксперты поумнее и помогут Вам… Но вот и Андрей Владимирович устал догадываться, что именно Вы подразумеваете в своих каракулях, но не желаете потрудиться написать это нам в понятной форме. Такое впечатление, будто Вас никто не воспитывал общаться корректно и уважительно с сотрудниками.

Насколько я знаю, в школе всех учат, что выражаться "не совсем хорошо понимаю, чем ограничить интегралы" - это вульгарно! Предложения надо начинать с большой буквы, а вопросы заканчивать знаком вопроса. Эти простые правила придумали не от скуки, они помогают людям лучше понимать друг друга!

Мне в этом смысле повезло: Меня с детства воспитывали в строгости : "Если взялся за Дело, то делай его старательно, чтоб позже никому из нас не было стыдно за результат твоего труда!".
Позже мне посчастливилось поработать в передовых фирмах, где инженеров воспитывали ещё жёстче! Мой напарник обижался на упрёки и стал неудачником, уволился. А я проглатывал науку и стал успешным инженером.

Если бы я позволил себе фразу в Вашем стиле "не совсем хорошо понимаю, чем ограничить интегралы" - меня бы заклевали мои наставники: "Чего ты кокетничаешь?! Говори честно: если ни хрена не понял, так прямо и признайся, что ни черта не понял. А если хоть что-нибудь понял, так потрудись рассказать чётко и внятно: Что именно ты понял?". Всем известно, что в решении проблем "Одна умная голова - хорошо, а две - лучше!" Развивать идею, которую хоть один сотрудник уже немного понял, гораздо производительнее, чем каждому спецу начинать с нуля.

Вот Вы оказывается давно представляли свою цилиндр-фигуру, но поленились написать об этом. Я тратил время и тщательно подбирал слова, чтоб Вам легче было представить вычисляемую поверхность. В результате я зря старался, тк позже Вы сообщили "рисунок представляю". А если бы Вы описывали свою проблему старательно, мы бы уже были на 2 шага впереди!

Итак, "чем ограничить интегралы" ? Я уже ранее писал Вам, что я НЕ есть профессиональный математик. Но решать сложные технические проблемы у меня всегда получалось хорошо. Потому что я раскладывал большие и сложные узлы на более простые и мелкие. А с мелочью всегда проще!
Вот и Ваш большой интеграл с под-интегральной суммой я предлагаю вычислять, как сумму отдельных более простых интегралов.
А каждый простой интеграл надо разделить ещё на 3 интеграла, вычисляемых по 3м поверхностям : Нижнему основанию цилиндра (круг в плоскости z = 0), Верхнему основанию цилиндра (круг в плоскости z = 3), и боковой поверхности цилиндра ([$961$] = 1 , 0 < z < 3).
[$966$]-пределы ограничены от 0 до 2·[$960$] . А [$952$]-угол - Ваша неудачная затея, потому что у Вас цилиндр, а не сфера. В цилиндрических координатах использование угла [$952$] НЕ облегчает расчёт, а затуманивает его.
Дальше сами справитесь?