Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт


ID: 401284

Михаил Александров

Советник


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт


ID: 401888

puporev

Профессор


ID: 400669

epimkin

Профессионал


ID: 405239

al4293189

4-й класс


8.13.11

14.01.2022

JS: 2.13.37
CSS: 4.8.5
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2022-01-17 19:27:11-standard


Консультация онлайн # 201816

Раздел: Физика
Автор вопроса: al4293189 (4-й класс)
Дата: 04.12.2021, 17:17 Консультация закрыта
Поступило ответов: 2
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас помочь со следующей задачей:
Один конец цилиндрического железного стержня массой г и длиной см нагрели на газовой горелке. После выключения горелки температура на одном конце стержня была , на расстоянии см от него — , на расстоянии см — , на расстоянии см — , на расстоянии см — и на другом конце — . Через минуту температура сравнялась и стала равной во всех точках стержня. Оцените, какое количество теплоты было потеряно за эту минуту. Удельная теплоемкость железа Дж/кг·°C.
Источник: earthz.ru
Единственная трудность этой задачи в том, чтобы найти распределение температуры по стержню. В источнике имеется решение с графиком, но во-первых это не точно, во-вторых при большой длине стержня это нерационально (придётся строить огромный график), в-третьих составитель требует получения зависимости температуры точки стержня от расстояния от газовой горелки до этой точки с учетом теплопотерь. Скорее всего, подразумевается использование закона теплопроводности Фурье ( при передачи тепла от горелки до указанной точки) и закон Ньютона — Рихмана (для теплопотерь). К сожалению я не представляю как это сделать. Помогите пожалуйста!

Ответ # 1, sglisitsyn (6-й класс)

Не морочьте себе голову. От вас вовсе не требуется вся эта математика, поскольку требуется ОЦЕНИТЬ количество потерянного тепла. Достаточно линейной аппроксимации и ответ получите за пять минут: потери равны 17,25 Дж.

sglisitsyn

6-й класс
06.12.2021, 12:59
3
К сожалению, это не ответ на вопрос, поставленный в консультации. У меня отсутствует цель получения ответа за короткое время (пять минут)
Условие: Конец металлич-го стержня массой m = 0,015 кг и длиной L = 10 см нагрели до t0 = 700°C .
Дана зависимость температуры от расстояния до горячего конца.
Конечная температура стала tk = 200°C во всех точках стержня.
Удельная теплоёмкость железа C = 460 Дж / (кг·°C).
Вычислить количество теплоты, потерянное за время остывания.

Решение: Читаем учебник "Физика в средней школе" (Аксенович, Ракина стр154) (Ссылка): Количество теплоты, нужное для нагревания тела массой m от температуры T1 до температуры T2, рассчитывается по формуле
Q = c·m·(T2 - T1) = c·m·ΔT , где c - удельная теплоёмкость вещества; c = Q / (m·ΔT)

В нашей задаче тело остывает, а начальная температура участков стержня зависит от расстояния до горячего конца.
Поэтому потерянное количество теплоты вычислим как сумму потерянных мини-теплот на маленьких разно-нагретых участках :
Q = ∑ ΔQ
ΔQ = c·m·[t(x) - tk]·Δx / L = Ct·[t(x) - tk]·Δx / L , где Ct = c·m = 6,9 Дж / Град - это теплоёмкость стержня (Ct численно равна кол-ву теплоты, необходимому для изменения температуры тела на 1°)

Q = Ct·[∑ [t(x)·Δx / L - ∑ tk·Δx / L] = Ct·[ts - tk] , где ts = (1/L)·0L∫ t(x)·dx - средняя температура стержня в начальный момент времени.
Мы получили примерно такую же формулу , как в указанном Вами источнике Ссылка2 . Но Вы хотели более точное, аналитическое Решение (не графическое).
Мне удалось получить линейно-интерполированную зависимость температуры стержня в зависимости от расстояния до горячего конца в популярном приложении Маткад (ссылка3) . Маткад-скриншот с расчётами и графиком прилагаю . Эта плавная зависимость позволила вычислить интеграл с усреднённой температурой стержня и получить
Ответ: Количество потерянной теплоты равно 155 Дж.
Однако, я не представляю, как Вы будете сдавать Решение своему преподавателю?
Вы, конечно, тоже можете сделать линейную интерполяцию и вычистить температуру t(x) в любой точки x1 <= x <= x2 , зная температуры t1 , t2 в соседних точках x1 , x2 . Сначала вычислите Угловой коэффициент
k = (t2 - t1) / (x2 - x1) (у Вас должно k < 0 во всём диапазоне). Затем
t(x) = t1 + k·(x - x1)

В Маткаде можно сделать более округлую кубическую интерполяцию, но тогда Вам без Маткада будет ещё труднее сдавать работу?
Я сделал для Вас обычную систему из 5 уравнений, чтоб Вы могли пользуясь моими коэффициентами полинома, вычислять интегрирал степенной функции типа
t(x) = t0 + A·x + B·x2 + C·x3 + … + E·x5

Маткад вычислил 5 коэффициентов, график очень точно проходит ч-з оцифрованные точки, но м-ду последними точками с большим интервалом неожиданно "ныряет" в минус! Если Вам очень нужен этот метод, можно добавить "костыль" в виде интерполированной доп-точки м-ду x=5 и x=10.

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
06.12.2021, 16:57
5
Спасибо большое! Именно то, что мне нужно!

Мини-форум консультации # 201816

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323038

= общий =    05.12.2021, 15:16
Я помогу Вам, если Вы напишете Условие Вашего Вопроса обычным текстом, который можно скопировать/вставить в мой Текстовый документ и далее работать с копией без порчи зрения прокруткой экрана этой страницы с кучей реклам.
Ваше беспричинное злоупотребление тэгами Формула вынуждает меня набивать вручную много текст-фрагментов типа "m = 15 г". Когда я ввожу вручную с картинки, то иногда ошибаюсь и выдаю несоответствующие Решения.
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323039

= общий =    05.12.2021, 17:39
Владимир Николаевич, вот условия без форматирования BBCode:
Один конец цилиндрического железного стержня массой m=15 г и длиной 10 см нагрели на газовой горелке. После выключения горелки температура на одном конце стержня была 700°C, на расстоянии 1 см от него — 500°C, на расстоянии 2 см — 300°C, на расстоянии 3 см — 200°C, на расстоянии 5 см — 150°C и на другом конце — 100°C. Через минуту температура сравнялась и стала равной 200°C во всех точках стержня. Оцените, какое количество теплоты было потеряно за эту минуту. Удельная теплоемкость железа 460 Дж/кг·°C.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323048

= общий =    06.12.2021, 01:46
Мне кажется, Вы усложняете свою задачу домыслами о законах теплопроводности Фурье и Ньютона - Рихмана. Эти законы помогают теоретически рассчитать распределение температуры при недостатке данных. А Вам в Условии заданы практически-полученные данные, имеющие приоритет перед обобщённой теорией по причине особенностей нагрева в конкретном опыте. Теория с практикой часто имеют расхождения, которые для нас с Вами - лишняя работа, чреватая придирками Вашего преподавателя.

Ваше "придётся строить огромный график" - это эмоция, кот-я обычно бывает перед тем, как принять решение Браться за работу, либо нет. Огромность графика - это не километры стержня, а кол-во оцифрованных точек, которых у Вас всего 6 .

У Вас уже есть Решение на странице earthz.ru/solves...-po-fizike-12552 , но Вам хочется поточнее и с получением зависимости температуры от расстояния до горячего конца, верно?

Цитирую Маткад-тему Интерполяция: "При обработке экспериментальных данных, как правило, возникает задача аппроксимации результатов эксперимента аналитической зависимостью y = f(x), которую можно использовать в последующих расчетах.
Существует 3 возможности аппроксимации опытных данных:
1. Аппроксимирующая функция f(x) должна проходить через все опытные точки. Такой способ аппроксимации называется интерполяцией.
2. Выбрать аппроксимирующую функцию таким образом, чтобы она сглаживала, усредняла опытные данные. Такой способ аппроксимации называется Регрессией, или сглаживанием.
3. Подобрать аппроксимирующую функцию, отбросив систематическую погрешность, так называемые шумы, наложившиеся на экспериментальные данные. Такой способ называется сглаживанием с фильтрацией данных.

Интерполяция: Встроенные функци Mathcad позволяют при интерполяции проводить через экспериментальные точки кривые разной степени гладкости.
"
Я предлагаю Вам выбрать предпочтительный вариант решения из выше-перечисленных.
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323051

= общий =    06.12.2021, 09:43
Скорее всего составитель требует выбора интерполяции, наиболее близкую к теоретическому расчёту. Именно, необходимо получить расчетную формулу t(x) - см. условие, и подобрать неизвестные параметры (коэффициенты в соответствующих законах) чтобы интерполяция (одна из) была наиболее близкой к данной зависимости, полученной теоретически. Теоретическая зависимость требуется получить точно, а численная подстановка не очень важна.
al4293189

4-й класс

ID: 405239

323082

= общий =    07.12.2021, 08:07
Владимир Николаевич, спасибо большое за подробный ответ!
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323088

= общий =    07.12.2021, 11:11
НаЗдоровье Вам!
Ответ #281863 содержит ошибку в вычислении, но в нём есть то изящество, кот-го нам с Вами недоставало в процессе 2х-дневных мучений с этой горе-задачей. Эксперт sglisitsyn своим свежим взглядом увидел главное: "требуется ОЦЕНИТЬ количество потерянного тепла". Понятие "Оценить" означает быстро получить приблизительный результ (довольствоваться точностью 20…30 %) и НЕ транжирить своё рабочее время на ибыточную точность (на производстве Вас будут за такое транжирство наказывать и понижать в должности за низкую Производительность труда).

И поскольку для решения "Достаточно линейной аппроксимации", то "к Чёрту" интегралы и навороченные бикубические интерполяторы! В задачах по физике очень полезно искать Физический смысл и использовать опыт геометрической интерпретации, кот-й практикует в своих решениях лучший Учитель Физики Konstantin Shvetski . Константин объясняет ученикам, что интеграл - это не заумно-высшая материя, а всего лишь площадь под графиком.

Вот и у нас с Вами вся трудность задачи - вычислить площадь под красной ломаной линией на верхнем графике моего Ответа. Это может сделать 8-классник, кот-й догадается разделить площадь много-угольника на 5 трапеций, у кот-х параллельные стороны вертикальны. Площадь трапеции имеет простую формулу : S = (a+b)·h / 2

В нашей задаче площадь левой трапеции: S1 = (T1 + T2)·(X2 - X1) / 2 = (700 + 500)·(1 - 0) / 2 = 600 см·Град.
Площадь второй слева трапеции: S2 = (T2 + T3)·(X3 - X2) / 2 = 400 см·Град,
S3 = (T3 + T4)·(X4 - X3) / 2 = 250 , S4 = (T4 + T5)·(X5 - X4) / 2 = 350 , S5 = (T5 + T6)·(X6 - X5) / 2 = 625.
Площадь под графиком: Ss = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 = 2225 см·Град.
Средняя температура исходно-нагретого стержня : ts = Ss / L = 222,5 °C.
Количество потерянной теплоты Q = Ct·(ts - tk) = 155,25 Дж ≈ 0,15 кДж . Вот и всё Решение.

Можно, конечно, возиться со сложной, сглаживающей интерполяцией, но лучше сэкономить время и изучать этот метод применительно к другой, более достойной задаче. А эта недоделка от "Сириус" только убивает наше время и опыт. Все, кто по-настоящему любит Природу и Физику, знают, что большинство естесственных процессов (разряд эл-конденсатора, остывание тела, перетекание воды…) описываются ниспадающей экспонентой. Если бы сочинитель задачи задал нам точки, похожие на настоящую физику, они бы все принадлежали экспоненциальной кривой
T(t) = T0·e-t / τ или полиномному аналогу ( e-t = 1 - t/1! + t2/2! - t3 / 3! + …), кот-е легко интегрировать и обработать математически. Но Сириус дал Вам точки "с потолка": первые 3 точки расположены точно на прямой круто вниз, потом вывороты против часовой, по часовой, и в итоге моделирования вышла анти-физическая модель, кот-я показана синей кривой на 2м графике. Я убил десятки минут, подозревая Маткад в ошибке. Проверил все оцифрованные точки - всё точно! Вот такую чушь даёт Сириус студентам, а студенты перекладывают эти небылицы на наши седые головы.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323092

= общий =    07.12.2021, 11:21
Спасибо Вам за подсказку к кратко-производительному Решению!
Я с удовольствием поддержу Ваш Ответ, как только Вы исправите ошибку в вычислении и добавите хоть немного пояснений.
Программа сервера rfpro.ru предоставляет возможность править/редактировать свои ответы только экспертам, заработавшим высокий статус. Поэтому сейчас Вы можете опубликовать свой исправленный Ответ в ниже-мини-форуме и обратиться к модераторам с просьбой переместить Ваш проект в форму Вашего ошибочного Ответа. =Удачи! smile
sglisitsyn

6-й класс

ID: 404002

323110

= общий =    07.12.2021, 15:48
Решение с пояснениями и графиком во вложенном файле

С уважением С.Г. Лисицын

-----
Прикрепленные файлы:


Стержень.docx
скачать (17.9 кб)
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323112

= общий =    07.12.2021, 17:14
Вы опубликовали свой пост БезАдресно. В таких случаях программа сервера Портала rfpro.ru рассылает почтовые уведомления о добавлении нового поста только участникам, посетившим текущую страницу, то есть автору Консультации al4293189 и мне. Модераторы не знают о Вашем "Решение с пояснениями и графиком во вложенном файле". А если они случайно зачитают эту страницу, то Ваш последний пост не содержит никакой просьбы.

Контент Вашего файла Стержень.docx НЕ отображается на странице браузера, не индексируется в поисковых системах… Читателям приходится скачивать Ваш докум в тяжёлом Word-формате, не каждый захочет делать это, особенно когда люди ищут конкретную информацию и нуждаются в быстром просмотре.
Лучше публиковать инфу в виде обычного текста с доп-картинками для графиков и формул.

Если Вы хотите отправить сообщение конкретному человеку, то под ниже-заголовком "Сообщение в мини-форум" кликните по чёрному треугольничку в правой части поля "Адресат". Сервер покажет Вам выпадающий список участников текущей консультации. Выберите из этого списка желаемого адресата.

Для ввода греческих букв, радикалов, интегралов показателей степени, нижних индексов… используйте BBCode rfpro.ru/help/services#510 Ссылка . Для этого в ниже-абзаце "Сообщение в мини-форум" кликните большую белую плюс-пиктограмму на зелёном фоне. Сервер откроет Вам ДопПанель спец-символов. При наведении на любой из них мышь-курсора всплывает подсказка. Потренируйтесь, введите какую-нибудь пробную бессмыслицу, но жмите не "Отправить", а "Предпросмотр". Тогда сервер покажет Вам 2 панели : Отображаемый результат и снова поле с кодами.

Нажимать Предпросмотр можно многократно. Когда Ваш Отображаемый результат понравится Вам, жмите "Отправить" для публикации. =Удачи!
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.