Условие: Конец металлич-го стержня массой m = 0,015 кг и длиной L = 10 см нагрели до t
0 = 700°C .
Дана зависимость температуры от расстояния до горячего конца.
Конечная температура стала t
k = 200°C во всех точках стержня.
Удельная теплоёмкость железа C = 460 Дж / (кг·°C).
Вычислить количество теплоты, потерянное за время остывания.
Решение: Читаем учебник "Физика в средней школе" (Аксенович, Ракина стр154)
(Ссылка): Количество теплоты, нужное для нагревания тела массой m от температуры T
1 до температуры T
2, рассчитывается по формуле
Q = c·m·(T
2 - T
1) = c·m·[$916$]T , где c - удельная теплоёмкость вещества; c = Q / (m·[$916$]T)
В нашей задаче тело остывает, а начальная температура участков стержня зависит от расстояния до горячего конца.
Поэтому потерянное количество теплоты вычислим как сумму потерянных мини-теплот на маленьких разно-нагретых участках :
Q = [$8721$] [$916$]Q
[$916$]Q = c·m·[t(x) - t
k]·[$916$]x / L = C
t·[t(x) - t
k]·[$916$]x / L , где C
t = c·m = 6,9 Дж / Град - это теплоёмкость стержня (C
t численно равна кол-ву теплоты, необходимому для изменения температуры тела на 1°)
Q = C
t·[[$8721$] [t(x)·[$916$]x / L - [$8721$] t
k·[$916$]x / L] = C
t·[t
s - t
k] , где t
s = (1/L)·
0L[$8747$] t(x)·dx - средняя температура стержня в начальный момент времени.
Мы получили примерно такую же формулу , как в указанном Вами источнике
Ссылка2 . Но Вы хотели более точное, аналитическое Решение (не графическое).
Мне удалось получить линейно-интерполированную зависимость температуры стержня в зависимости от расстояния до горячего конца в популярном приложении
Маткад (ссылка3) . Маткад-скриншот с расчётами и графиком прилагаю . Эта плавная зависимость позволила вычислить интеграл с усреднённой температурой стержня и получить
Ответ: Количество потерянной теплоты равно 155 Дж.
Однако, я не представляю, как Вы будете сдавать Решение своему преподавателю?
Вы, конечно, тоже можете сделать линейную интерполяцию и вычистить температуру t(x) в любой точки x
1 <= x <= x
2 , зная температуры t
1 , t
2 в соседних точках x
1 , x
2 . Сначала вычислите Угловой коэффициент
k = (t
2 - t
1) / (x
2 - x
1) (у Вас должно k < 0 во всём диапазоне). Затем
t(x) = t
1 + k·(x - x
1)
В Маткаде можно сделать более округлую кубическую интерполяцию, но тогда Вам без Маткада будет ещё труднее сдавать работу?
Я сделал для Вас обычную систему из 5 уравнений, чтоб Вы могли пользуясь моими коэффициентами полинома, вычислять интегрирал степенной функции типа
t(x) = t
0 + A·x + B·x
2 + C·x
3 + … + E·x
5Маткад вычислил 5 коэффициентов, график очень точно проходит ч-з оцифрованные точки, но м-ду последними точками с большим интервалом неожиданно "ныряет" в минус! Если Вам очень нужен этот метод, можно добавить "костыль" в виде интерполированной доп-точки м-ду x=5 и x=10.