Условие: В выпуклом 4х-угольнике ABCD точки E и F есть середины сторон BC и AD.
Требуется доказать, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении. В процессе доказательства надо использовать текст полу-готового доказательства и заменить все слова "Выбрать" на подходящие по смыслу математические выражения.
Решение: Выражения, которыми я заменил слова "Выбрать", я выделил жирным шрифтом. Дополнительные пояснения я подкрасил зелёным шрифтом в скобках. Результ показываю ниже.
Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему
Менелая для треугольника
ABD и
AXF :
1 = (AF / FD)·(DN / NB)·
(BX / XA) и, учтя, что AF = FD, получим, что BN / ND =
BX / XA .
Аналогично, используя теорему
Менелая для треугольника
ABC и
AXM ,
(расписываю подробно: 1 = (CM / MA)·(AX / XB)·(BE / EC) , тут BE / EC = 1 , значит: CM / MA = XB / AX [$8658$] CM / AM = BX / XA )находим, что CM / AM =
BX / XA , откуда BN / ND =
CM / AM ,
что и требовалось доказать.
Для проверки правильности Решения можно измерить длины отрезков линейкой, но такая проверка даёт всего 2 знака точности, возможны совпадения и пропуски ошибок. Поэтому, я вычислил длины отрезков и их отношения методом Аналитической геометрии в популярном приложении
Маткад (ссылка1) . Маткад-скриншот с точным чертежом и формулами прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
См учебную статью "Теорема Менелая"
Ссылка2 . =Удачи!