Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1061

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

314

Россия, Северодвинск


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

278

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

158

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

105


ID: 404002

sglisitsyn

6-й класс

42


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

30

Россия, Омск


8.10.3

30.10.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-04 11:45:59-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201778

Раздел:  Математика
Автор вопроса: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Дата: 25.11.2021, 21:58 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Надо вместо "выбрать" поставить нужные названия или слова
Точки E и F — середины сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении.

Решение. Случай, когда ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, очевиден (в этом случае EFllAB и утверждение следует из теоремы Фалеса). Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что прямые EF и AB пересекаются. Обозначим их точку пересечения через X.
Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему
Выбрать
для треугольника
Выбрать
и
Выбрать

1=AF/FD?DN/NB?
Выбрать

и, учтя, что AF=FD, получим, что
BN/ND=
Выбрать
.
Аналогично, используя теорему
Выбрать
для треугольника
Выбрать
и
Выбрать
, находим, что
CM/AM=
Выбрать
,
откуда
BN/ND=
Выбрать
.

-----
Прикрепленные файлы:

Условие: В выпуклом 4х-угольнике ABCD точки E и F есть середины сторон BC и AD.
Требуется доказать, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении. В процессе доказательства надо использовать текст полу-готового доказательства и заменить все слова "Выбрать" на подходящие по смыслу математические выражения.

Решение: Выражения, которыми я заменил слова "Выбрать", я выделил жирным шрифтом. Дополнительные пояснения я подкрасил зелёным шрифтом в скобках. Результ показываю ниже.

Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему Менелая для треугольника ABD и AXF :
1 = (AF / FD)·(DN / NB)·(BX / XA) и, учтя, что AF = FD, получим, что BN / ND = BX / XA .

Аналогично, используя теорему Менелая для треугольника ABC и AXM ,
(расписываю подробно: 1 = (CM / MA)·(AX / XB)·(BE / EC) , тут BE / EC = 1 , значит: CM / MA = XB / AX ⇒ CM / AM = BX / XA )
находим, что CM / AM = BX / XA , откуда BN / ND = CM / AM , что и требовалось доказать.

Для проверки правильности Решения можно измерить длины отрезков линейкой, но такая проверка даёт всего 2 знака точности, возможны совпадения и пропуски ошибок. Поэтому, я вычислил длины отрезков и их отношения методом Аналитической геометрии в популярном приложении Маткад (ссылка1) . Маткад-скриншот с точным чертежом и формулами прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
См учебную статью "Теорема Менелая" Ссылка2 . =Удачи!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
30.11.2021, 10:55
5
Мини-форум консультации # 201778

q_id

Александр Айдурамов Микилович

Посетитель

ID: 405465

1

= общий =    30.11.2021, 19:45
Алексеев Владимир Николаевич:

Большое спасибо!

=====
smile smile smile smile

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

2

= общий =    01.12.2021, 01:44
Александр Айдурамов Микилович:

НаЗдоровье Вам!
Я изучаю математику вместе с Вами. Благодаря Вам и Вашим задачкам и познал теорему Менелая. smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1061

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 314

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 278

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 197

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 105

Лысков Игорь Витальевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 43