Родились сегодня:
Кожухова Дарья


Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1030

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

312

Россия, Северодвинск


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

276

Россия, Санкт-Петербург


ID: 400669

epimkin

Профессионал

204


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

155

Беларусь, Гомель


ID: 404002

sglisitsyn

6-й класс

41


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

28

Россия, Омск


8.10.3

30.10.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-03 01:16:01-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201777

Раздел:  Математика
Автор вопроса: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Дата: 25.11.2021, 21:54 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос,я похожий уже задавал раннее,но всё же мне нужна помощь:
Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P. Известно, что AB1:B1C=2:1, BA1:A1C=8:1. Найдите следующие отношения.
AC1:C1B=
AP:PA1=
BP:PB1=

-----
Прикрепленные файлы:

Условие: В треугольнике ABC чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P .
Заданы соотношения: AB1 : B1C = 2:1 , BA1 : A1C = 8:1 .
Вычислить отношения : AC1 : C1B , AP : PA1 , BP : PB1 .

Решение: Зададим переменные с удобными именами для операций с отношениями : AbC = AB1 : B1C = 2:1 = 2 ,
BaC = BA1 : A1C = 8:1 = 8 , искомое AcB = AC1 : C1B .
Как и в Вашей прошлой консультации rfpro.ru/question/201643 (Ссылка1) на эту же тему, вспоминаем, что такое Чевианы (см Ссылка2) и их главные свойства. Чевианы - это менее замечательные отрезки треугольников, чем привычные нам высоты, медианы и биссектрисы, однако все чевианы пересекаются в одной точке, и древние математики сочинили из этого свойства несколько полезных теорем для решений задач. Из множества этих теорем, для решения текущей задачи нам понадобятся всего две:

1)Теорема Чевы связывает соотношения всех треугольниковых сторон, разделённых чевианами:
(AB1 : B1C)·(CA1 : A1B)·(BC1 : C1A) = 1 - в этом изящном выражении Чева великодушно разрешил нам менять буквы на свои, начинать перечисление-обход с любой Вершины и двигаться в любом направлении (по часовой стрелке, либо против). Однако, надо строго соблюдать последовательность перечисления букв и НЕ менять выбранное направление до окончания написания уравнения!

Я начал AB1 : B1C только потому, что это отношение дано в Условии, и его можно заменить числом
AbC = AB1 : B1C = 2:1 = 2 . А далее продолжаем, как завещал умный италиец!
Вместо CA1 : A1B нам задано BA1 : A1C = 8:1 , и, чтоб воплотить Чева-идею, выворачиваем отношение наизнанку и получаем:
AbC·(1 / BaC)·(1 / AcB) = 1 , откуда вычисляем искомое AC1 / C1B :
AcB = AbC / BaC = 2 / 8 = 1/4 . Половина задачи решена, все стороны треугольника ABC разделены чевианами.

2)Теорема Ван-Обеля о треугольнике связывает соотношения 3х отрезков, исходящих из любой одной вершины треугольника: а именно: какой-либо Чевианы и прилежащих к ней сторон. В её уравнении все отношения начинаются с одинаковой буквы, тк все 3 связанные отрезка исходят из общей вершины:
AP : PA1 = AB1 : B1C + AC1 : C1B = AbC + AcB = 2 + 1/4 = 9/4 .
BP : PB1 = BC1 : C1A + BA1 : A1C = BcA + BaC = 1 / AcB + 8 = 1 / (1/4) + 8 = 12
Ответ : Искомые отношения: AC1 : C1B = 1/4 , AP : PA1 = 9/4 , BP : PB1 = 12/1

Мне нельзя выдавать ошибки. Поэтому, чтобы убедиться в правильности Ответа я вычислил эти же соотношения методом Аналитической геометрии. Этот метод гораздо более трудоёмкий для текущей задачи, поэтому я использовал популярное приложение Маткад (ссылка3) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом реального треугольника прилагаю. В моём треугольнике точно выдержаны Условия соотношений (в отличие от исходного, схематичного чертежа от автора задачи). Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Доказательство теоремы Чевы Вы можете посмотреть в статье "Вокруг теорем Чевы и Менелая.pdf" 630 кБ Ссылка4 . =Удачи!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
28.11.2021, 12:29
5
Мини-форум консультации # 201777

q_id

Александр Айдурамов Микилович

Посетитель

ID: 405465

1

= общий =    28.11.2021, 21:10
Алексеев Владимир Николаевич:

Спасибо! Колоссальная работа проделана вами.

=====
smile smile smile smile

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

2

= общий =    29.11.2021, 02:36
Александр Айдурамов Микилович:

НаЗдоровье Вам!
Я старался подробно пояснить Ход Решения, чтобы в будущем Вы могли сами вычислять Чевианы. smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1030

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 312

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 276

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 204

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 196

Gluck

9-й класс

Рейтинг: 60