Родились сегодня:
ivan_papus


Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1167

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 405587

Magic2hand

5-й класс

696


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

318

Россия, Северодвинск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

181

Беларусь, Гомель


ID: 405604

Ника

Посетитель

141


ID: 400669

epimkin

Профессионал

119


ID: 405537

hipunova1512

Посетитель

88


8.10.4

05.12.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-08 21:46:03-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201776

Раздел:  Математика
Автор вопроса: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Дата: 25.11.2021, 21:50 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Надо вместо "ПРОПУСК" вставить числа либо названия (чаще числа,но 1 слово,1 название отрезка и 1 название площади). Буква S означает площадь в данной задаче,а не название точки!
Внутри правильного треугольника отметили точку с расстояниями до вершин, равными 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

Решение. Предположим, что внутри правильного треугольника ABC отмечена такая точка P, что PA=3, PB=4, PC=5. Пусть при повороте относительно точки A на 60? точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C1, а точка P — в точку P1.



Тогда треугольник PAP1 является
Выбрать
и его площадь равна ПРОПУСК
?3–?. Отрезок CP1 получается поворотом из отрезка
ПРОПУСК
, поэтому у треугольника PCP1 стороны равны 3, 4 и 5. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP1 является прямоугольным и его площадь равна ПРОПУСК
. С другой стороны,
ПРОПУСК?3–?+ ПРОПУСК
=SPAP1+SPCP1=SAPC+SAP1C=SAPC+
ПРОПУСК
.
Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60? с центрами в точках B и C, получаем равенства
ПРОПУСК?3–?+ПРОПУСК
=SBPA+SCPB
и
ПРОПУСК?3–?+ПРОПУСК
=SCPB+SAPC.Складывая все три полученных равенства и деля пополам, заключаем, что
SABC=
ПРОПУСК?3–?+ПРОПУСК
.

Условие: Внутри правильного треугольника ABC точка P имеет расстояния до вершин, равные 3, 4 и 5 соответственно.
Вычислить площадь S треугольника ABC. При этом надо следовать алгоритму уже-заданного Решения, в котором вместо слов "Пропуск" надо вставить соответствующие смыслу числа либо МатВыражения.

Решение: Выражения, которыми я заменил слова "Пропуск", я выделил жирным шрифтом. Дополнительные пояснения я подкрасил зелёным шрифтом в скобках. Результат показываю ниже.

Предположим, что внутри правильного треугольника ABC отмечена такая точка P, что PA = 3, PB = 4, PC = 5. Пусть при повороте относительно точки A на 60° точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C1, а точка P - в точку P1.

Тогда треугольник PAP1 является правильным (равно-сторонним) и его площадь равна a2·√3 / 4 = 32·√3 / 4 .
Отрезок CP1 получается поворотом из отрезка BP , поэтому у треугольника PCP1 стороны равны 3, 4 и 5. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP1 является прямоугольным и его площадь равна a·b/2 = 3·4 / 2 = 6 .
С другой стороны, 32·√3 / 4 + 6 = SPAP1 + SPCP1 = SAPC + SAP1C = SAPC + SAPB (так как ΔAP1C = ΔAPB).

Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60° с центрами в точках B и C, получаем равенства
42·√3 / 4 + 6 = SBPA + SBPC и
52·√3 / 4 + 6 = SCPB + SCPA .

Складывая все 3 полученных равенства и деля пополам, заключаем, что
(32·√3 / 4 + 6) + (42·√3 / 4 + 6) + (52·√3 / 4 + 6) = (SAPC + SAPB) + (SBPA + SBPC) + (SCPB + SCPA)
Раскрываем скобки: 32·√3 / 4 + 42·√3 / 4 + 52·√3 / 4 + 6 + 6 + 6 = 2·SABC

SABC = (1/2)·[(32 + 42 + 52)·√3 / 4 + 18] = 50·√3 / 8 + 9 = 25·√3 / 4 + 9 ≈ 19,83
Ответ: площадь треугольника ABC равна 19,8 кв.ед.

Для проверки правильности Решения и Ответа я вычислил площадь треугольника ABC методом Аналитической геометрии в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад-скриншот с уточнённым чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом. =Удачи!

Последнее редактирование 29.11.2021, 12:23 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
29.11.2021, 10:32
5
Мини-форум консультации # 201776

q_id

Александр Айдурамов Микилович

Посетитель

ID: 405465

1

= общий =    25.11.2021, 21:51

снова забыл smile

-----
Прикрепленные файлы:

=====
smile smile smile smile

q_id

Александр Айдурамов Микилович

Посетитель

ID: 405465

2

= общий =    29.11.2021, 19:32
Алексеев Владимир Николаевич:

Спасибо вам,снова! Вы прекрасный человек.

=====
smile smile smile smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1167

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 318

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 201

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 119

sglisitsyn

6-й класс

Рейтинг: 50

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

Рейтинг: 45