Условие: Внутри правильного треугольника ABC точка P имеет расстояния до вершин, равные 3, 4 и 5 соответственно.
Вычислить площадь S треугольника ABC. При этом надо следовать алгоритму уже-заданного Решения, в котором вместо слов "Пропуск" надо вставить соответствующие смыслу числа либо МатВыражения.

Решение: Выражения, которыми я заменил слова "Пропуск", я выделил жирным шрифтом. Дополнительные пояснения я подкрасил зелёным шрифтом в скобках. Результат показываю ниже.

Предположим, что внутри правильного треугольника ABC отмечена такая точка P, что PA = 3, PB = 4, PC = 5. Пусть при повороте относительно точки A на 60° точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C₁, а точка P - в точку P₁.

Тогда треугольник PAP₁ является правильным (равно-сторонним) и его площадь равна a[sup]2[/sup]·[$8730$]3 / 4 = 3[sup]2[/sup]·[$8730$]3 / 4 .
Отрезок CP₁ получается поворотом из отрезка BP , поэтому у треугольника PCP₁ стороны равны 3, 4 и 5. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP₁ является прямоугольным и его площадь равна a·b/2 = 3·4 / 2 = 6 .
С другой стороны, 3[sup]2[/sup]·[$8730$]3 / 4 + 6 = S[sub]PAP1[/sub] + S[sub]PCP1[/sub] = S[sub]APC[/sub] + S[sub]AP1C[/sub] = S[sub]APC[/sub] + S[sub]APB[/sub] (так как [$916$]AP₁C = [$916$]APB).

Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60° с центрами в точках B и C, получаем равенства
4[sup]2[/sup]·[$8730$]3 / 4 + 6 = S_BPA + S_BPC и
5[sup]2[/sup]·[$8730$]3 / 4 + 6 = S_CPB + S_CPA .

Складывая все 3 полученных равенства и деля пополам, заключаем, что
(3²·[$8730$]3 / 4 + 6) + (4²·[$8730$]3 / 4 + 6) + (5²·[$8730$]3 / 4 + 6) = (S_APC + S_APB) + (S_BPA + S_BPC) + (S_CPB + S_CPA)
Раскрываем скобки: 3²·[$8730$]3 / 4 + 4²·[$8730$]3 / 4 + 5²·[$8730$]3 / 4 + 6 + 6 + 6 = 2·S_ABC
S_ABC = (1/2)·[(3[sup]2[/sup] + 4[sup]2[/sup] + 5[sup]2[/sup])·[$8730$]3 / 4 + 18] = 50·[$8730$]3 / 8 + 9 = 25·[$8730$]3 / 4 + 9 [$8776$] 19,83
Ответ: площадь треугольника ABC равна 19,8 кв.ед.

Для проверки правильности Решения и Ответа я вычислил площадь треугольника ABC методом Аналитической геометрии в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад-скриншот с уточнённым чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом. =Удачи!