Условие: Дан геометрический чертёж и текст: "
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат, причём центр параллелограмма является центром этого квадрата".
Требуется: В тексте полу-готового Доказательства заменить многоточия на подходящие по смыслу значения (названия, числа).
Решение: На исходном чертеже параллелограмм имеет примерно одинаковые стороны (как у ромба), что очень затрудняет попытки представить результаты поворотов почти одинаковых отрезков вокруг поворот-центров. Поскольку нам задан не ромб, а параллелограмм, я утрировал чертёж растягиванием горизонтальных сторон параллелограмма ABCD. Теперь мне, и надеюсь Вам тоже, будет легче понимать суть ниже-Доказательства. Вставленные мною обязательные названия и числа я выделил жирным шрифтом, а доп-комментарии - зелёным цветом:
При симметрии относительно точки O отрезок AB переходит в отрезок
CD (
тк O - середина диагоналей AC и BD) , поэтому квадрат, построенный на отрезке AB, переходит в квадрат, построенный на отрезке
CD. В частности, центр квадрата переходит в центр квадрата, то есть O
1 переходит в
O[sub]3[/sub]. Аналогично O
2 переходит в
O[sub]4[/sub]. Таким образом, четырёхугольник O
1O
2O
3O
4 является
параллелограммом (в первой стадии доказательства), а точка O - его центром.
Поскольку O
1 - центр квадрата, то при повороте с центром в точке O
1 (вокруг O1) на
90° точка A переходит в точку B. При этом повороте отрезок AD переходит в равный и перпендикулярный ему отрезок
BB[sub]1[/sub]. Следовательно, квадрат, построенный на отрезке AD, переходит в квадрат, построенный на отрезке
BC. Тогда центр квадрата переходит в центр, то есть точка O
4 переходит в точку
O[sub]2[/sub]. Следовательно, O
1O
4 =
O[sub]1[/sub]O[sub]2[/sub] и [$8736$]O
4O
1O
2 =
90° .
В параллелограмме O
1O
2O
3O
4 соседние стороны равны и перпендикулярны, поэтому он является квадратом.