Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1061

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

314

Россия, Северодвинск


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

278

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

158

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

105


ID: 404002

sglisitsyn

6-й класс

42


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

30

Россия, Омск


8.10.3

30.10.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-04 11:45:59-standard


Консультации и решение задач по физике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201718

Раздел:  Физика
Автор вопроса: ivgtrk (Посетитель)
Дата: 20.11.2021, 15:48 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями где


где A1=1 см, А2=1 см w1=0,5 с-1, w2=1 с-1.
Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.

Условие: Уравнения колебаний: X1 = A1·sin(ω1·t) , X2 = A2·cos(ω2·t),
A1 = 1 см, А2 = 1 см, ω1 = 0,5 с-1, ω2 = 1 с-1 .
Вычислить уравнение траектории, построить её с соблюдением масштаба и указать направление движения.

Решение: Заменим временно индекс-содержащие имена переменных на простые и удобные, подставим числовые значения. То есть, максимально упростим формат исходных данных, чтобы не запутаться в процессе решения и не ошибиться. Получаем:
X1(t) = x(t) , X2(t) = y(t) . Тогда уравнения наших колебаний:
x(t) = sin(0,5·t) , y(t) = cos(t) .

Чтобы получить уравнение траектории y(x), надо исключить параметр t из параметрически-заданных уравнений. Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами
sin2(α) = [1 - cos(2·α)] / 2 , sin2(α) = 1 - cos2(α) .
В нашей задаче α = 0,5·t ⇒ 2·α = t . Возводим первое уравнение колебания в квадрат:
x(t)2 = sin2(α) = [1 - cos(2·α)] / 2 = [1 - cos(t)] / 2
Из него следует : 2·x(t)2 = 1 - cos(t) ⇒ cos(t) = 1 - 2·x(t)2

Во втором уравнении y(t) = cos(t) заменяем cos(t) на эквивалент 1 - 2·x(t)2 :
y(t) = 1 - 2·x(t)2 . Теперь можно избавиться от параметра t :
y = 1 - 2·x2 - это Уравнение траектории в удобном для восприятия формате.

Возвращаемся к исходно-заданным именам переменных :
X2(X1) = 1 - 2·X12 - искомое уравнение траектории точки. Строим график:

Вы можете строить график любым удобным Вам способом (в тч используя OnLine-решатели).
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с построенным и окультуренным в нём графиком прилагаю. Там же сделана проверка. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ: уравнение траектории : X2(X1) = 1 - 2·X12 .
У этой параболы аргумент изменяется на отрезке X1 = [-1; 1] (тк исходно X1 = sin(…)), множество значений X2 = [-1; 1] .
Направление движения в зависимости от времени я показал стрелочками вдоль кривой траектории.

Последнее редактирование 23.11.2021, 03:31 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
22.11.2021, 05:53
5


Спасибо!

Мини-форум консультации # 201718

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

1

= общий =    20.11.2021, 16:38
ivgtrk:

Решение похожей задачи см на странице rfpro.ru/question/196606 (Ссылка).
Вам осталось подставить в показанное Решение свои числа.

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

2

= общий =    20.11.2021, 16:51

Решение похожей задачи см на странице


Я его как раз изучаю. Но что-то у меня график получается сильно вытянутый...
Или я в скобках ошибаюсь в уравнении траектории

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

3

= общий =    20.11.2021, 16:54

Все, получилось. Спасибо!

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

4

= общий =    21.11.2021, 02:07
ivgtrk:

НаЗдоровье Вам! Поздравляю с Успехом! Спасибо Андрею Владимировичу за старания и полноценный Ответ в rfpro.ru/question/196606 !

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

5

= общий =    21.11.2021, 11:49

НаЗдоровье Вам! Поздравляю с Успехом!


Ответ в rfpro.ru/question/196606


Да, основной ход мыслей я взял от туда, но долго не мог понять, почему точки из уравнений условия не попадают на траекторию движения.
Выяснилось, что я не отбросил двойку перед wt в первом уравнении (у меня то ее нет!).
Начал выводить уравнение снова и в итоге получилось уравнение параболы с ветвями вниз.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

6

= общий =    21.11.2021, 12:22
ivgtrk:

Я очень сомневаюсь в возможности возникновения параболы (линии 2го порядка) из исходных параметрических уравнений первого порядка. Сделайте проверку подставой исходного уравнения
X1 = A1·sin(ω1·t) в свою параболу

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

7

= общий =    21.11.2021, 12:49

X1 = A1·sin(?1·t) в свою параболу


Естественно я проверял, т.к. вычислял направление движения точки. Она начинает движение из 0;1 вправо вниз до точки 1;-1, затем возвращается влево вверх до вершины параболы, далее уходит влево вниз до точки -1;-1.
И точно попадает на траекторию

-----
Прикрепленные файлы:

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

8

= общий =    21.11.2021, 12:55

Дано:


см



Возведем в квадрат обе части первого уравнения:


Воспользуемся соотношением:


тогда


Из второго уравнения системы получаем:


тогда


Отсюда получаем уравнение траектории:


Учитывая A = 1 см, получаем:


Или что-то не так?

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

9

= общий =    21.11.2021, 14:28
ivgtrk:

Чтобы ответственно ответить на Ваш уточняющий вопрос, мне надо вникнуть в Вашу задачу, решить её. Сегодня я сделать это не успеваю, у нас уже поздний вечер по Владивостоку. Продолжу завтра. smile

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

10

= общий =    22.11.2021, 06:22
ivgtrk:

Вы затратили много времени на подробный показ своего неправильного Решения. Гораздо благоразумнее было бы потратить мЕньшее время на простую проверку своего результа. Например, для t = π = 3,14 сек должно быть:
X1 = sin(π/2) = 1 , X2 = sin(π) = 0 , однако по Вашей формуле
X2(π/2) = 1 - 2·x2 = 1 - 2·sin2(π/2) = 1 - 2·12 = -1 - этот неправильный результ должен побуждать аккуратных людей искать и устранять свою ошибку, а не показывать её подробно на весь СНГ.
Я отправил Вам правильный Ответ, сервер отображает его в начале этой страницы.

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

11

= общий =    22.11.2021, 09:01
Алексеев Владимир Николаевич:

Добрый день.
Благодарю за Ваше решение. Свой вариант я не в коем случае не декларировал как исключительно верное, однако сбило с толку то, что подстановкой времени (t) в исходные уравнения точка движется прямо по параболе .
Вот анимация в онлайн-построителе.
Естественно, я мог в чем-то глубоко заблуждаться.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

12

= общий =    22.11.2021, 11:01
ivgtrk:

Наздоровье Вам! Не обижайтесь на старого ворчуна. Я устаю от решений задач. И когда кто-то утверждает, будто он сделал проверку, а ошибка НЕ выявлена, то это раздражает, как обман. Я тоже часто ошибаюсь. И настолько часто, что без Маткада выдаю ошибку на ошибке, что недопустимо для экспертов с высоким статусом. Как Ваш аниматор аккуратно исполнил Вашу ошибку, так и мой Маткад иногда выдаёт абсурды от моих ляп-заданий ему.
Спасибо Вам за аниматор-ссылку! smile

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

13

= общий =    22.11.2021, 21:01
Алексеев Владимир Николаевич:

Да я и не обижаюсь вовсе, просто еще не привык к местным обычаям на данном форуме. Тем более мы земляки-дальневосточники, я сам с Камчатки, служил во Владе и жил там 9 лет на Некрасовской (привет Фрунзенскому району и Первой речке!). Но не суть.
Один из признаков живого ума - это сомневаться в каких-либо решениях, будь то свои или чужие. Верно? Вот смотрите - я не пожалел немного денег и скачал якобы зачтенный вариант этой задачи. Отличие только в том, что x(t) и y(t) объявлены сразу в условии.
Однако, результат решения совпал с моими выкладками. Можете как-то прокомментировать происходящее? Работу с Вашим вариантом я уже отправил на проверку в университет..

q_id

ivgtrk

Посетитель

ID: 405540

14

= общий =    22.11.2021, 21:07
Алексеев Владимир Николаевич:

И я еще не доглядел - в Вашем решении X2 = A2*sin(wt), а на самом деле в условии X2 = A2*cos(wt)
Похоже, завтра в догонку придется слать письмо преподавателю, дескать, мол ошибся слегка, решал для синуса в x2...

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

15

= общий =    23.11.2021, 04:16
ivgtrk:

Вы писали : "на самом деле в условии X2 = A2*cos(wt)" - Вы правы, я пол-дня решал для Вас не ту задачу, что Вы указали в Условии, и подвёл Вас на неправильный отчёт преподавателю. Прошу прощения за мой недогляд. smile
Я в тот день отправил 3 Ответа - слишком много, хотел побольше помочь людям, но устал и утратил внимательность, хотя всегда стараюсь всё проверить и пере-проверить. Было бы всё нормально, если бы Вы написали Условие текстом полностью, откуда удобно Скопировать/Вставить макси-точно. Но Вы написали своё мат-выражение X2 = A2·cos(ω2·t) с использованием тэга "Формула", rfpro.ru-сервер выдал Вашу формулу в формате картинки, и мне пришлось набивать текст вручную. Устаревший движок сервера не поддерживает Юникод с греческими буквами, и поэтому проект Ответа приходится писать в заморочных BBCode , а это такая жопа, что почти все ошибаются. Копию BBCode-текста прилагаю.

Ваш "привет Фрунзенскому району и Первой речке!" передать не могу, тк живу в Облученском р-не фик-Еврейской области (бывший Хабаровский край). У нас т-ко часовой пояс по Владивостоку, а ехать от нас 5 часов до Хабаровска, а потом ещё 12 ч до Владика. Слишком дорого для пенсионеров.
Я исправил свой Ответ. Вы решили свою задачу правильно и раньше меня. smile

-----
Прикрепленные файлы:

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1061

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 314

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 278

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 197

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 105

Gluck

9-й класс

Рейтинг: 42