Условие: Уравнения колебаний: X₁ = A₁·sin([$969$]₁·t) , X₂ = A₂·cos([$969$]₂·t),
A₁ = 1 см, А₂ = 1 см, [$969$]₁ = 0,5 с^-1, [$969$]₂ = 1 с^-1 .
Вычислить уравнение траектории, построить её с соблюдением масштаба и указать направление движения.

Решение: Заменим временно индекс-содержащие имена переменных на простые и удобные, подставим числовые значения. То есть, максимально упростим формат исходных данных, чтобы не запутаться в процессе решения и не ошибиться. Получаем:
X₁(t) = x(t) , X₂(t) = y(t) . Тогда уравнения наших колебаний:
x(t) = sin(0,5·t) , y(t) = cos(t) .

Чтобы получить уравнение траектории y(x), надо исключить параметр t из параметрически-заданных уравнений. Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами
sin²([$945$]) = [1 - cos(2·[$945$])] / 2 , sin²([$945$]) = 1 - cos²([$945$]) .
В нашей задаче [$945$] = 0,5·t [$8658$] 2·[$945$] = t . Возводим первое уравнение колебания в квадрат:
x(t)² = sin²([$945$]) = [1 - cos(2·[$945$])] / 2 = [1 - cos(t)] / 2
Из него следует : 2·x(t)² = 1 - cos(t) [$8658$] cos(t) = 1 - 2·x(t)²

Во втором уравнении y(t) = cos(t) заменяем cos(t) на эквивалент 1 - 2·x(t)² :
y(t) = 1 - 2·x(t)² . Теперь можно избавиться от параметра t :
y = 1 - 2·x² - это Уравнение траектории в удобном для восприятия формате.

Возвращаемся к исходно-заданным именам переменных :
X₂(X₁) = 1 - 2·X₁² - искомое уравнение траектории точки. Строим график:

Вы можете строить график любым удобным Вам способом (в тч используя OnLine-решатели).
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с построенным и окультуренным в нём графиком прилагаю. Там же сделана проверка. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ: уравнение траектории : X₂(X₁) = 1 - 2·X₁² .
У этой параболы аргумент изменяется на отрезке X1 = [-1; 1] (тк исходно X1 = sin(…)), множество значений X2 = [-1; 1] .
Направление движения в зависимости от времени я показал стрелочками вдоль кривой траектории.