Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1061

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

314

Россия, Северодвинск


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

278

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

158

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

105


ID: 404002

sglisitsyn

6-й класс

42


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

30

Россия, Омск


8.10.3

30.10.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-04 11:45:59-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201708

Раздел:  Математика
Автор вопроса: Helper (Посетитель)
Дата: 20.11.2021, 11:41 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Вычислить определенный интеграл с точностью a = 0,001 , представив подынтегральную функцию в виде степенного ряда.

-----
Прикрепленные файлы:

Условие: определенный интеграл 01/5∫ [arctg(x) - x]·dx / x2
требуется вычислить с точностью 0,001 , представив подынтегральную функцию в виде степенного ряда.

Решение: читаем учебную статью "Приближенное вычисление определённого интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд" Ссылка1
Чтобы получить ряд нашей функцию f(x) = [arctg(x) - x] / x2 , разложим в ряд Маклорена сначала функцию
arctg(x) = x - x3 / 3 + x5 / 5 - … этих трёх членов вполне достаточно, тк добавление членов этого убывающего знако-чередующегося ряда практически не повышает точность вычисления.
Затем вычисляем числитель дроби: fc(x) = arctg(x) - x = (x - x3 / 3 + x5 / 5 - …) - x = -x3 / 3 + x5 / 5 - …
Затем всю функцию fs(x) = fc(x) / x2 = -x / 3 + x3 / 5 - …
Интегрируем : F(x) = ∫ fs(x)·dx = ∫ (-x / 3 + x3 / 5)·dx = (-1/3)·∫ x·dx + (1/5)·∫ x3·dx = (-1/3)·(x2 / 2) + (1/5)·(x3 / 3) = -x2 / 6 + x4 / 20
По теореме Ньютона-Лейбница получаем искомый результат i = F(1/5) - F(0) = -0,0066
Ответ : Интеграл 01/5∫ [arctg(x) - x]·dx / x2 ≈ -0,007 с точностью 0,001 .

Для проверки я вычислил точное значение интеграла в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с формулами прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Последнее редактирование 25.11.2021, 08:55 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
22.11.2021, 16:42
5


Спасибо огромное!

Мини-форум консультации # 201708

q_id

Helper

Посетитель

ID: 405534

1

= общий =    25.11.2021, 08:18
Алексеев Владимир Николаевич:

Спасибо большое!

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

2

= общий =    25.11.2021, 08:57
Helper:

НаЗдоровье Вам! Приятно иметь дело с культурными и добро-желательными людьми! smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1061

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 314

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 278

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 197

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 105

Лысков Игорь Витальевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 43