Условие: В треугольнике ABC биссектрисы пересекаются в точке i . [$8736$]ABC = 120° .
На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены точки P и Q соответственно так, что AP = CQ = AC .
Вычислить угол PiQ , используя алгоритм Условия задачи, заменяя слова "Выбрать" и "число" подходящими математическими выражениями.

Решение: Вставленные мною заменяющие фразы я выделил жирным шрифтом. В результате получилось следующее:
Поскольку отрезки AP и AC равны, точки P и C симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC, откуда
[$8736$]AiC = [$8736$]AiP .
Аналогично, рассматривая точки A и Q, получаем равенство [$8736$]AiC = [$8736$]QiC .

В произвольном треугольнике угол AiC как угол между биссектрисами углов A и C треугольника ABC выражается формулой
[$8736$]AiC = 180° - [$8736$]A / 2 - [$8736$]C / 2 = 180° - (1/2)·([$8736$]A + [$8736$]C) = 180° - (1/2)·(180° - [$8736$]ABC) = 180° - (1/2)·(180° - 120°) = 180° - (1/2)·60° = 150°
Следовательно, в нашей задаче [$8736$]AiC = [$8736$]PiA = [$8736$]QiC = 150°.

Сумма углов AiC, PiA и QiC равна 360° + [$8736$]PiQ , откуда искомый угол PiQ равен
[$8736$]PiQ = [$8736$]AiC + [$8736$]PiA + [$8736$]QiC - 360 = 150 + 150 +150 - 360 = 450 - 360 = 90 градусов.

Ответ : [$8736$]PiQ = 90°.
Для проверки я решил эту задачу методом Аналитической геометрии в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ключевое слово solve,x означает Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной x .

Латинская заглавная буква i в моём любимом Arial-шрифте очень похожа на малую латину L . Во избежание путаницы я заменил большую букву i на малую. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в минифоруме.