Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос, вместо "[u]выбрать[/u]" нужно вставить соответствующие соотношения,треугольники,стороны и так далее, в изображении соответственно для номера каждого "выбрать" стоит цифра. (это значит что для "[u]выбрать [b]1)[/b][/u]" варианты надо выбрать из того что в изображении под цифрой "[i][u]1)[/u][/i]":
Дан треугольник ABC и точка D на прямой BC вне отрезка BC. Тогда прямая AD является внешней биссектрисой угла A тогда и только тогда, когда AB:AC=BD:CD.



Доказательство. Предположим, что прямая AD является биссектрисой внешнего угла. Тогда точка D равноудалена от прямых
[i]Выбрать [b]1)[/b]
[/i] и, таким образом, в треугольниках
[u]Выбрать [b]2)[/b][/u]
есть равные высоты, а следовательно, их площади относятся как длины оснований, а именно, как AB:AC. С другой стороны, у этих же треугольников есть общая высота из вершины
[u]Выбрать [b]3)[/b][/u]
, поэтому их площади относятся как BD:CD, откуда и следует требуемое равенство.

Проведём теперь рассуждение в обратную сторону. Пусть известно, что AB:AC=BD:CD. Поскольку точки B, C и D лежат на одной прямой, то

BDCD=
[u]Выбрать [b]4)[/b][/u]

В силу заданного соотношения

[u]Выбрать [b]5)[/b][/u]
=ABAC,

то есть отношение площадей треугольников оказалось равным отношению длин их
[u]Выбрать [b]6)[/b][/u]
. Это возможно лишь в случае, если равны высоты, опущенные на соответствующие стороны, поэтому расстояния от точки D до прямых
[u]Выбрать [b]7)[/b]
[/u] равны, и точка D принадлежит биссектрисе внешнего угла A треугольника.