Родились сегодня:
ivan_papus


Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1167

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 405587

Magic2hand

5-й класс

696


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

318

Россия, Северодвинск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

181

Беларусь, Гомель


ID: 405604

Ника

Посетитель

141


ID: 400669

epimkin

Профессионал

119


ID: 405537

hipunova1512

Посетитель

88


8.10.4

05.12.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-08 21:46:03-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201641

Раздел:  Математика
Автор вопроса: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Дата: 09.11.2021, 18:02 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос, вместо "выбрать" нужно вставить соответствующие соотношения,треугольники,стороны и так далее, в изображении соответственно для номера каждого "выбрать" стоит цифра. (это значит что для "выбрать 1)" варианты надо выбрать из того что в изображении под цифрой "1)":
Дан треугольник ABC и точка D на прямой BC вне отрезка BC. Тогда прямая AD является внешней биссектрисой угла A тогда и только тогда, когда AB:AC=BD:CD.



Доказательство. Предположим, что прямая AD является биссектрисой внешнего угла. Тогда точка D равноудалена от прямых
Выбрать 1)
и, таким образом, в треугольниках
Выбрать 2)
есть равные высоты, а следовательно, их площади относятся как длины оснований, а именно, как AB:AC. С другой стороны, у этих же треугольников есть общая высота из вершины
Выбрать 3)
, поэтому их площади относятся как BD:CD, откуда и следует требуемое равенство.

Проведём теперь рассуждение в обратную сторону. Пусть известно, что AB:AC=BD:CD. Поскольку точки B, C и D лежат на одной прямой, то

BDCD=
Выбрать 4)

В силу заданного соотношения

Выбрать 5)
=ABAC,

то есть отношение площадей треугольников оказалось равным отношению длин их
Выбрать 6)
. Это возможно лишь в случае, если равны высоты, опущенные на соответствующие стороны, поэтому расстояния от точки D до прямых
Выбрать 7)
равны, и точка D принадлежит биссектрисе внешнего угла A треугольника.

-----
Прикрепленные файлы:

Здравствуйте, Александр Микилович!

Предлагаю Вам свою версию доказательства.

Предположим, что прямая AD является биссектрисой внешнего угла. Тогда точка D равноудалена от прямых AB и AC, и, таким образом в треугольниках ABD и ACD есть равные высоты, а следовательно, их площади относятся как длины оснований, а именно, как AB:AC. С другой стороны, у этих же треугольников есть общая высота из вершины A, поэтому их площади относятся как BD:CD, откуда и следует требуемое равенство.

Проведём теперь рассуждение в обратную сторону. Пусть известно, что AB:AC=BD:CD. Поскольку точки B, C и D лежат на одной прямой, то BD:CD=SABD/SACD. В силу заданного соотношения SABD/SACD=AB:AC. то есть отношение площадей треугольников оказалось равным отношению длин их оснований. Это возможно лишь в случае, если равны высоты, опущенные на соответствующие стороны, поэтому расстояния от точки D до прямых AB и AC равны, и точка D принадлежит биссектрисе внешнего угла A треугольника.

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
11.11.2021, 18:23
5
Мини-форум консультации # 201641

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

1

= общий =    12.11.2021, 22:07
Александр Айдурамов Микилович:

Вам нужно проявлять больше интереса к созданным Вами консультациям, поскольку Вы претендуете на решение задач, требующих углублённого изучения математики...

=====
Facta loquuntur.

q_id

Александр Айдурамов Микилович

Посетитель

ID: 405465

2

= общий =    13.11.2021, 21:30
Гордиенко Андрей Владимирович:

Спасибо вам огромное за помощь и за совет!

=====
smile smile smile smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1167

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 318

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 201

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 119

sglisitsyn

6-й класс

Рейтинг: 50

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

Рейтинг: 45