Условие: Длины отрезков: AO = 3, AC = 10, OQ = 7 .
Вычислить длину отрезка BC и расстояние от точки M до прямой BC.
Вычислить площадь фигуры, накрытой обоими кругами.

Решение: Начертим обе заданные окружности и поместим их на координатную плоскость XOY так, чтобы центр O окружности1 совместился с началом координат, а центр Q окружности2 - правее на оси абсцисс.
Длину отрезка BC = 2·OQ = 14 Вы вычислили быстрее меня (для подписчиков поясняю: OQ = BC/2 - это средняя линия треугольника ABC).

Вы спрашивали "как быть с расстоянием до ВС" - в общем случае расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущеного из точки на заданную прямую (см абзац "Как найти расстояни от точки до прямой в пространстве ?" в статье "Взаимное расположение прямых в пространстве. Задачи с прямой в пространстве" Ссылка1 )
Но в Вашем примере всё проще: Поскольку ординаты точек M, B и C одинаковы, значит, точка M принадлежит прямой BC, и, таким образом расстояние от точки M до прямой BC равно нулю.

"как быть с … площадью множества точек?" - вероятно, Вы получили задачу от репетиторской конторы "Сириус", где не утруждают себя корректными выражениями в заданиях? Ищем определение термина "точка". Солидный академический словарь dic.academic.ru Ссылка2 сформулировал : "В геометрии, топологии и разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, НЕ имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни к-либо др измеримых характеристик". Значит, Ваш препод задал Вам "Найдите площадь множества элементов, не имеющих площади".

Чтоб не множить бестолковщину, я подправил формулировку : "Вычислить площадь фигуры, накрытой обоими кругами". Конкретно надо вычислить сумму площадей сегментов ADM + AFM . В школьной математике учат вычислять площадь сегмента AFM как разность площади сектора OAFM и площади треугольника OAM . В мат-разделе ИИ (Интегральное Исчисление) эту задачу решают лаконичнее как интеграл-сумму из площадей множества прямоугольничков [$916$]x·dy :
S = _My^Ay[$8747$] [$916$]x·dy . Один из элементов [$916$]x·dy я показал синей заливкой на чертеже.

Симметричность сегментов относительно оси OX позволяет упростить задачу и заменить вычисление суммы сегментов удвоенной суммой полу-сегментов
S = 2·(AEF + AED) .
Вычисления я сделал в популярном приложении Маткад (ссылка3) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом. Надеюсь, я расписал достаточно подробно?

Ответ : BC = 14ед., площадь фигуры, накрытой обоими кругами равна 2,5 ед². Эта площадь выделена на чертеже голубой заливкой и равна площади 2,5 квадратиков размером 1[$215$]1 координатной сетки.
Проверка сделана вычислением площади альтернативным методом ИИ. Результаты вычислений совпали.