Пусть w = f(z) = f(x+iy) - функция комплексной переменной z = x+iy. Её можно представить в виде w = u(x,y) + iv(x,y), где u и v - некоторые функции двух переменных. Тогда необходимым и достаточным условием того, что функция w = f(z) - аналитическая, является условие Коши-Римана:

причём частные производные функций u и v должны существовать во всей области определения функции f(z).
Таким образом, проверка функции w = f(z) на "аналитичность" вкратце сводится к следующему: делаем подстановку z = x+iy, преобразуем получившееся выражение, разделяя слагаемые, содержащие и не содержащие i, что даёт, соответственно, функции v(x,y) и u(x,y), находим частные производные этих функций, проверяем условие Коши-Римана. Если оно выполняется на всей области определения функции f(z), эта функция - аналитическая, в противном случае - нет.
Рассмотрим Ваш пример:
a)
то есть u(x,y) = x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup], v(x,y) = 2xy. Тогда

то есть условие Коши-Римана выполняется на всей комплексной плоскости, и функция z[sup]2[/sup] - аналитическая;
c)
то есть u(x,y) = x + sin x ch y, v(x,y) = y - cos x sh y. Тогда

то есть условие Коши-Римана не выполняется для большинства значений x, y, и функция не является аналитической;
d)
то есть u(x,y) = 2x, v(x,y) = y. Тогда

то есть условие Коши-Римана не выполняется нигде, и функция не является аналитической;
e)
то есть u(x,y) = 1/2 ln(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]), v(x,y) = arctg y/x. Тогда

то есть условие Коши-Римана выполняется на всей комплексной плоскости (за исключением точки z = 0, где функция не определена), и функция ln z является аналитической;
f)
то есть u(x,y) = x[sup]2[/sup]y-y[sup]3[/sup], v(x,y) = 2xy[sup]2[/sup]. Тогда

то есть условие Коши-Римана не выполняется, и функция z[sup]2[/sup] Im(z) не является аналитической;
g)
то есть u(x,y) = x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup], v(x,y) = 0. Тогда

то есть условие Коши-Римана не выполняется, и функция |z| не является аналитической;
h)
то есть u(x,y) = x - sin x ch y, v(x,y) = y + 1 - cos x sh y. Тогда

то есть условие Коши-Римана выполняется при любых x, y, и функция z - sin z + i - аналитическая.
Таким образом, аналитическими являются функции a, b, e и h (доказать "аналитичность" функции b попробуйте самостоятельно).