Вы писали "
требуется вычислить тройной интеграл … по области z>=0 , x^2/a^2+…<=1. очень, очень смущают неравенства" - тут всё просто : замените неравенства равенствами, и Вы получите границы областей. Но ведь Вам надо знать ещё и по
которую сторону от границы расположена искомая область? Неравенство как раз и показывает Вам направление нужной части области от границы.
Конкретно z>=0 означает, что Вам надлежит работать с верхним, а не нижним полу-пространством относительно границы z=0.
"
как может быль область больше чего-то, до бесконечности?" - это лишь первая стадия, когда Вы получили z>=0 по границе z=0 , + направление вверх (а не вниз) до бесконечности. На 2й стадии неравенство x^2/a^2+…<=1 даёт Вам вторую границу x^2/a^2+…=1 , и к тому же ещё предписывает направление внутрь эллипсоида (а не вне границы …=1).
2 перечисленных пункта Условия дают Вам вполне конкретную область полу-эллипсоида. см "Основные поверхности пространства и их построени"
mathprofi.ru/poverhnosti.html (ссылка) \ абзац Эллипсоид с канонич-уравнением x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1.