Лидеры рейтинга

ID: 401284

Михаил Александров

Советник

380

Россия, Санкт-Петербург


ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

341

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401888

puporev

Профессор

216

Россия, Пермский край


ID: 405338

vovaromanov.jr

1-й класс

114


ID: 400669

epimkin

Профессионал

112


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

30

Россия, Омск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

26

Беларусь, Гомель


8.10.2

13.10.2021

JS: 2.10.2
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-10-23 16:46:01-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201471

Раздел: Математика
Автор вопроса: Александр (Посетитель)
Дата: 10.10.2021, 14:29 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
r=6sin3ф, r=3 (r>=3)

Условие : Плоская фигура ограничена линиями в полярных координатах : r1(φ) = 6·sin(3·φ) ,
r2 = 3 с доп-условием r >= 3 .
Вычислить площадь ограниченной фигуры.

Решение : Читаем учебную статью "Как вычислить площадь фигуры в полярных координатах с помощью интеграла?" Ссылка1 и чертим графики заданных линий в Полярной системе координат. Графики и вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка) прилагаю.

Найдём область определения первой функции, где её синус-радиус НЕотрицателен :
r1 >= 0 ⇒ φ = [0 ; π/3] ∪ [2·π/3 ; π] ∪ [4·π/3 ; 5·π/3] - итого 3 лепестка на кругу.

Вычислим углы-лучи, по которым пересекаются заданые линии. Приравняем их функции:
r1(φ) = r2
6·sin(3·φ) = 3
sin(3·φ) = 3/6 = 1/2
α = arcsin(1/2) / 3 = π/18 , β = (π - arcsin(1/2)) / 3 = 5·π/18

Площадь одного (из 3х) полного лепестка розы:
SЛ = (1/2)·0π/3∫ [r1(φ)]2·dφ = (1/2)·0π/3∫ [6·sin(3·φ)]2·dφ = 3·π ≈ 9,42

Площадь кругового сектора (голубая заливка):
SS = (1/2)·αβ∫ [r2]2·dφ = (1/2)·αβ∫ 32·dφ = π ≈ 3,14

Площадь одной (любой из 2х) боковинки по бокам от сектора (коричн заливка):
Sb = (1/2)·0α∫ [r1(φ)]2·dφ = (1/2)·0α∫ [6·sin(3·φ)]2·dφ = π/2 - 3·√3 / 4 ≈ 0,27

Площадь одного внешнего полу-лепестка (жёлтая заливка):
SП = SЛ - Ss - 2·Sb = π + 3·√3/2 ≈ 5,74
Площадь фигуры из 3х полу-лепестков : S = 3·SП = 3·π + 9·√3/2 ≈ 17,22

Ответ : Площадь фигуры равна 3·π + 9·√3/2 ед2 ≈ 17,22 ед2.
Для приблизительной проверки Вы можете начертить квадратики и подсчитать их кол-во на любом жёлтом полу-лепестке. Размер квадратика надо сопоставивить с делением шкалы координатного полярного радиуса.

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
13.10.2021, 17:47
5
Мини-форум консультации # 201471

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

1

= общий =    11.10.2021, 02:50
Александр:

Я построил график Вашей фигуры в Полярных координатах ("3х-лепестковая Роза"). Вам осталось вычислить площадь одного полу-лепестка с голубой заливкой и умножить полученное число на 3.
Дальше сами справитесь?

-----
Прикрепленные файлы:

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 380

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 112

Gluck

9-й класс

Рейтинг: 82

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 70

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 6

planovichka777

1-й класс

Рейтинг: 4