Условие : Плоская фигура ограничена линиями в полярных координатах : r₁([$966$]) = 6·sin(3·[$966$]) ,
r₂ = 3 с доп-условием r >= 3 .
Вычислить площадь ограниченной фигуры.

Решение : Читаем учебную статью "Как вычислить площадь фигуры в полярных координатах с помощью интеграла?" Ссылка1 и чертим графики заданных линий в Полярной системе координат. Графики и вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка) прилагаю.

Найдём область определения первой функции, где её синус-радиус НЕотрицателен :
r₁ >= 0 [$8658$] [$966$] = [0 ; [$960$]/3] [$8746$] [2·[$960$]/3 ; [$960$]] [$8746$] [4·[$960$]/3 ; 5·[$960$]/3] - итого 3 лепестка на кругу.

Вычислим углы-лучи, по которым пересекаются заданые линии. Приравняем их функции:
r₁([$966$]) = r₂
6·sin(3·[$966$]) = 3
sin(3·[$966$]) = 3/6 = 1/2
[$945$] = arcsin(1/2) / 3 = [$960$]/18 , [$946$] = ([$960$] - arcsin(1/2)) / 3 = 5·[$960$]/18

Площадь одного (из 3х) полного лепестка розы:
S_Л = (1/2)·₀^[$960$]/3[$8747$] [r₁([$966$])]²·d[$966$] = (1/2)·₀^[$960$]/3[$8747$] [6·sin(3·[$966$])]²·d[$966$] = 3·[$960$] [$8776$] 9,42

Площадь кругового сектора (голубая заливка):
S_S = (1/2)·_[$945$]^[$946$][$8747$] [r₂]²·d[$966$] = (1/2)·_[$945$]^[$946$][$8747$] 3²·d[$966$] = [$960$] [$8776$] 3,14

Площадь одной (любой из 2х) боковинки по бокам от сектора (коричн заливка):
S_b = (1/2)·₀^[$945$][$8747$] [r₁([$966$])]²·d[$966$] = (1/2)·₀^[$945$][$8747$] [6·sin(3·[$966$])]²·d[$966$] = [$960$]/2 - 3·[$8730$]3 / 4 [$8776$] 0,27

Площадь одного внешнего полу-лепестка (жёлтая заливка):
S_П = S_Л - Ss - 2·S_b = [$960$] + 3·[$8730$]3/2 [$8776$] 5,74
Площадь фигуры из 3х полу-лепестков : S = 3·S_П = 3·[$960$] + 9·[$8730$]3/2 [$8776$] 17,22

Ответ : Площадь фигуры равна 3·[$960$] + 9·[$8730$]3/2 ед² [$8776$] 17,22 ед².
Для приблизительной проверки Вы можете начертить квадратики и подсчитать их кол-во на любом жёлтом полу-лепестке. Размер квадратика надо сопоставивить с делением шкалы координатного полярного радиуса.