Условие : Фигура, ограниченная линиями y1 = x
2 , y2 = x , вращается вокруг оси OX .
Вычислить объём тела вращения.
Решение начинаем с чертежа плоской фигуры согласно рекомендациям учебной статьи "
Как вычислить объём тела вращения с помощью определённого интеграла?"
mathprofi.ru/obyem_tela_vrashenija.html (Ссылка) . На плоскости XOY я построил фигуру, ограниченную линиями y1 , y2 . Эта плоская фигура залита тёмно-жёлтым цветом, именно она и вращается вокруг оси OX . В результате вращения получается конус, лежащий на боку, кот-й симметричен относительно оси OX .
Вычисляем точки пересечения заданных линий приравниванием y1(x) = y2(x) [$8658$] x
2 = x [$8658$] X1 = 0 , X2 = 1 .
Y1 = y2(X1) = 0 , Y2 = y2(X2) = 1 . Высота конуса равна h = X2 - X1 = 1 , а макси-радиус R = Y2 - 0 = 1 .
Объём конуса, как тела вращения, можно вычислить по формуле:
V
k = [$960$]·
X1X2[$8747$] y2
2·dx
Однако, наш конус не сплошной, из его середины вырезан параболический конус объёмом
V
p = [$960$]·
X1X2[$8747$] y1
2·dx
Таким образом, искомый объём тела вращения, как толщины стенок тела, равен разности
V = V
k - V
pВычисления я сделал в приложении
Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с поясняющим графиком прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Маткад отображает формулы точно так же, как стандартные математические редакторы формул с ниже-следующими простыми и удобными дополнениями:
Ключевое слово
solve означает Решить уравнение, прописанное слева от solve .
Символ
:= означает оператор присваивания. Символ
= - вывести на экран в числовом виде. Символ
[$8594$] - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).
Ответ : объём тела вращения равен 2·[$960$] / 15 [$8776$] 0,42 ед
3.
Если у Вас осталось что-либо непонятным, задавайте вопросы в мини-форуме. =Удачи!