Родились сегодня:
Кожухова Дарья


Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1031

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

313

Россия, Северодвинск


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

277

Россия, Санкт-Петербург


ID: 400669

epimkin

Профессионал

205


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

156

Беларусь, Гомель


ID: 404002

sglisitsyn

6-й класс

42


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

29

Россия, Омск


8.10.3

30.10.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-03 01:16:01-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201417

Раздел:  Математика
Автор вопроса: terent21 (Посетитель)
Дата: 21.09.2021, 10:17 Консультация закрыта
Поступило ответов: 2

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вычислить объем тела вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2, y=x

Условие : Фигура, ограниченная линиями y1 = x2 , y2 = x , вращается вокруг оси OX .
Вычислить объём тела вращения.

Решение начинаем с чертежа плоской фигуры согласно рекомендациям учебной статьи "Как вычислить объём тела вращения с помощью определённого интеграла?" mathprofi.ru/obyem_tela_vrashenija.html (Ссылка) . На плоскости XOY я построил фигуру, ограниченную линиями y1 , y2 . Эта плоская фигура залита тёмно-жёлтым цветом, именно она и вращается вокруг оси OX . В результате вращения получается конус, лежащий на боку, кот-й симметричен относительно оси OX .

Вычисляем точки пересечения заданных линий приравниванием y1(x) = y2(x) ⇒ x2 = x ⇒ X1 = 0 , X2 = 1 .
Y1 = y2(X1) = 0 , Y2 = y2(X2) = 1 . Высота конуса равна h = X2 - X1 = 1 , а макси-радиус R = Y2 - 0 = 1 .
Объём конуса, как тела вращения, можно вычислить по формуле:
Vk = π·X1X2∫ y22·dx

Однако, наш конус не сплошной, из его середины вырезан параболический конус объёмом
Vp = π·X1X2∫ y12·dx

Таким образом, искомый объём тела вращения, как толщины стенок тела, равен разности
V = Vk - Vp
Вычисления я сделал в приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с поясняющим графиком прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

Маткад отображает формулы точно так же, как стандартные математические редакторы формул с ниже-следующими простыми и удобными дополнениями:
Ключевое слово solve означает Решить уравнение, прописанное слева от solve .
Символ := означает оператор присваивания. Символ = - вывести на экран в числовом виде. Символ - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).

Ответ : объём тела вращения равен 2·π / 15 ≈ 0,42 ед3.
Если у Вас осталось что-либо непонятным, задавайте вопросы в мини-форуме. =Удачи!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
23.09.2021, 05:50
Здравствуйте, terent21!

Для вычисления искомого объёма тела вращения нет надобности использовать математические пакеты (хотя последнее само по себе похвально и полезно для практикующего инженера). Изучение курса математики в вузе предполагает усвоение проведения таких расчётов "вручную". Если Вы изобразите на координатной плоскости графики функций и то получите примерно такую картину (прикреплённый файл), то есть графики заданных функций пересекаются в точках с абсциссами и Искомый объём равен разности объёмов фигур, полученных вращением отрезка прямой и дуги параболы вокруг оси абсцисс, то есть
(ед. объёма).

Последнее редактирование 23.09.2021, 20:28 Гордиенко Андрей Владимирович (Мастер-Эксперт)


Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
23.09.2021, 20:12
Мини-форум консультации # 201417

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

1

= общий =    21.09.2021, 13:06
terent21:

Вы знаете, какую формулу нужно использовать для решения задачи?

=====
Facta loquuntur.

q_id

terent21

Посетитель

ID: 405344

2

= общий =    21.09.2021, 13:55

Я думаю вот эту:

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

3

= общий =    21.09.2021, 15:28
terent21:

Сначала надо не полениться начертить графики функций y = x2, y=x (хотя бы схематично) и заштриховать проекцию фигуры, ограниченную этими графиками на плоскости XOY. Затем представить тело вращения. А уж затем выбирать варианты путей обхода тела для наиболее простого интегрирования.
Очень полезная статья по Вашей теме "Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?" Ссылка

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

4

= общий =    21.09.2021, 15:55
terent21:

Да, нужно использовать эту формулу. Но чтобы её использовать, нужно определить пределы интегрирования и У Вас есть идеи, как это сделать?

=====
Facta loquuntur.

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

5

= общий =    22.09.2021, 22:03
terent21:

Если Вам совсем неохота размышлять, то воспользуйтесь советом уважаемого Владимира Николаевича:

Сначала надо не полениться начертить графики функций y = x2, y=x (хотя бы схематично) и заштриховать проекцию фигуры, ограниченную этими графиками на плоскости XOY. Затем представить тело вращения. А уж затем выбирать варианты путей обхода тела для наиболее простого интегрирования.

=====
Facta loquuntur.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

6

= общий =    25.09.2021, 13:34
Гордиенко Андрей Владимирович:

Вы писали в своём Ответе "Для вычисления… нет надобности использовать математические пакеты" - это справедливо т-ко для молодых гениев типа Михаил Александров или Roman Chaplinsky, в Ответах которых я ни разу не замечал ошибок. Мы с Вами уже не можем решать задачи с достаточно мизерной вероятностью ошибок. И поэтому для меня Маткад - единственное средство, позволяющее продлить свою мозговую активность, о чём я не устаю пояснять "Маткад избавляет меня от частых ошибок". Это как соломинка для утопающего.

"Изучение курса математики в вузе предполагает усвоение проведения таких расчётов вручную" - Вы всё правильно пишете, но это лишь констатация факта. А чтобы из этого факта сделать для себя правильный вывод, я советую всем экспертам Портала не идти на поводу у отсталых пост-советских преподов-самодуров, кот-е отупляют студентов изнуряющими расчётами вместо развития у них творческого мышления.

Да ну их в жопу, этих преподов, подумайте о себе, Андрей Владимирович! Мы с Вами отлично знаем, что главная ценность экспертов - это придумать идею, алгоритм решения задачи или другой (производственной, технической…) проблемы. На хороших фирмах, где мне посчастливилось работать, главного спеца уважали т-ко за то, что он умел собрать все исходные данные проблемы, сопоставить все причинно-следственные связи и выдать идею по её решению. Рядовые инженеры/техники доделывали всю рутину сами и радовались общему Успеху.

Я в процессе решения задач настолько устаю, что уже не в состоянии закончить последнюю стадию - вычисления - без ошибок. Вы тоже всё чаще упоминаете о старческом слабоумии ("Альцгеймер", "пора на покой")… Так почему не переложить черновую работу по вычислениям и графо-построению на специально-разработанный Маткад? Этот восхитительный инструм очень удобен, он заменяет корявый РедакторФормул rfpro-сервера (в кот-м нет даже нормального знака умножения) и никогда не ошибается в вычислениях! Маткад даёт возможность старикам продлить активное творчество на много лет, избавляя нас от ощущений одиночества и собственной ненужности! Работа в Маткаде гораздо приятнее, чем пить коньяк с соседом, уйдя на покой изза трудностей вычислений вручную без ошибок! =сУважением!

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

7

= общий =    25.09.2021, 17:46
Алексеев Владимир Николаевич:

Владимир Николаевич! Я не против использования математических пакетов, но я против замены ими даже минимального умения интегрировать вручную.

=====
Facta loquuntur.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

8

= общий =    26.09.2021, 02:18
Гордиенко Андрей Владимирович:

Значит, Вы ещё молоды, энергичны и слишком редко ошибаетесь, чтобы прочувствовать явную нужду в вычислителе-помощнике. У Вас ещё всё впереди! smile
Я мог бы легко скопировать интегралы из Маткада в Формул-тэги, но в тэг-наборе нет нормального знака скалярного умножения, а заменять его нижними точками (как Вы) - не шокирует т-ко Вас. Вы привыкли к плохому, Андрей Владимирович. Александров заменяет умножени-символы на косые Б кресты - это меньше коробит. smile

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

9

= общий =    26.09.2021, 05:29
Алексеев Владимир Николаевич:

Владимир Николаевич! Я использую онлайн-калькуляторы для проверки своих ручных расчётов при необходимости. MathCAD'ом я не пользуюсь, потому что не умею. Использую точку как символ умножения в силу своих эстетических соображений. Я надеюсь, что Вы простите мне несовпадение моих представлений и Ваших с Александровым. smile

=====
Facta loquuntur.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

10

= общий =    26.09.2021, 05:52
Гордиенко Андрей Владимирович:

Умение интегрировать вручную очень полезно и математикам, и инженерам-разработчикам - я полностью согласен с Вами, Андрей Владимирович! Я даже коллекционирую примеры изящных приёмов интегрирования НЕтабличных интегралов.

Я публикую Маткад-скрины вместо привычных Вам формул по 2м причинам :
1) Формул-тэги rfpro-сервера не содержат нормального знака скалярного умножения.
2) Поиск по фразам в старых консультациях на rfpro-сервере происходит долго и почти всегда безуспешно. Поэтому я сохраняю консультаци-копии, очищеные от JavaScript и реклам, в мини-htm-файлики. Ваши Ответы содержат десятки формул-тэгов, кот-е сервер конвертирует в кучу отдельных мини-картинок, занимающих 4 кБ каждая на жёстком диске. А мой Маткад-скрин - это всего 1 компактная картинка. smile

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

11

= общий =    26.09.2021, 06:13
Алексеев Владимир Николаевич:

Не нужно сохранять мои ответы: они не заслуживают этого. smile

=====
Facta loquuntur.

q_id

Михаил Александров

Советник

ID: 401284

12

= общий =    26.09.2021, 21:25

Называть друг друга по имени и отчеству, а другого человека - по фамилии, как-то обидно

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

13

= общий =    27.09.2021, 03:11
Михаил Александров:

Уважаемый Михаил, перспективный препод хабаровской академии экономики (где я работал в 2003) ездил в Америку на стажировку, и затем по возвращении в Россию делился опытом и прочёл нам полезную лекцию о культуре общения в электронной переписке. Согласно правилам цивилизованных стран, в каждом письме / сообщении надо хотя бы 1 раз обратиться к собеседнику по имени (отчеству) либо по его должности. При упоминании третьих лиц допустимо употреблять их ник либо недвусмысленное сокращение.

Согласно этим правилам мы с Андреем называли друг друга полностью, а Вас, как 3е лицо упомянули немного сокращённо. При обращении лично к Вам мы будем и к Вам обращаться по имени (и отчеству, если сообщите его).
Наш Управляющий упоминает нас в третьих лицах как АВН и ГАВ, на производстве меня часто называли по фамилии… Такая уж традиция в СНГ, это считается нормой. Не обижайтесь, пожалуйста.

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

14

= общий =    27.09.2021, 07:27
Михаил Александров:

Я готов называть Вас полностью. Сообщите, пожалуйста, своё отчество.

=====
Facta loquuntur.

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1031

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 313

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 277

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 205

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 197

Gluck

9-й класс

Рейтинг: 61