По моему скромному мнению ответ Google выдаёт на раз. Если речь идет о традиционной позиционной системе счисления (базис позиционной системы счисления образует геометрическую прогрессию), то базисом позиционной системы счисления является последовательность степеней числа -основания традиционной позиционной системы, например:
1 10 100 1000 ...
1 8 64 512 ...
1 16 256 4096 ...

[size=1][offtop]Позвольте полюбопытствовать, в чём смысл Ваших вопросов, ИМХО, их ответы надо искать в учебниках.[/offtop][/size]

У меня возникли трудности при изучении этого вопроса. Трудность в том, что, во-первых, я не могу представить себе, как строится ход рассуждений при определение размерности алфавита Nk = Pk + 1 / Pk, если Pk + 1 делится нацело на Pk; Nk = (Pk + 1 / Pk) + 1, в противном случае.
Во-вторых, в прикрепленном файле, со слов "пусть теперь в представлении числа a в разрядах 0,1,...,i стоят максимально допустимые цифры этих разрядов...", мне не понятно, что подразумевается под разрядов i+1. я понимаю, что приведенная последовательность чисел (0,1,...,i) - это все разряды в числе от нулевого до старшего. Далее, правильно ли я понимаю, что Ni+1 - 1 - это цифра-число - самая высшая в выбранной системе счисления (в 10-ичной - это 9)?
Далее, в первой записи числа снизу-вверх что означает Pi + 1 относительно числа в аддитивно-мультипликативной переменной форме, если P0,P1,...,Pi,.... - это бесконечная монотонная возрастающая последовательность. В общем, интересна суть, данной записи и изменилась ли суть и как во втором неравенстве.
Пока так.

Почему Вы сразу не сообщаете в консультации о конкретной проблеме, а задаёте сначала общий вопрос, а потом "углубляете" проблематику?

Я хотел сравнить несколько идей/доказательств одной теоремы/вопроса, чтобы теория стало более ясна, или, если таких не будет, задать вопрос по тому, которое я нашёл.

Уважаемый Key2! Такой манерой задавать вопросы в консультациях Вы вводите в заблуждение тех, кто отвечает на них, относительно объёма предстоящей работы. Вряд ли кто-то интересуется теми же проблемами, что и Вы, и готов потратить уйму времени и энергии на разъяснение Вам теории.

Возможно, Вам лучше обратиться сюда: Ссылка >>. На этом форуме много специалистов по математике, в том числе преподавателей логики и высшей алгебры, которые сумеют удовлетворить Ваши запросы. Всегда, когда у меня возникали сложности, я обращался туда и, как правило, получал нужное содействие. Участники того форума любят подолгу профессионально общаться на обсуждаемые темы. Правда, от Вас потребуется конкретная и грамотная постановка вопросов и аргументация...

Есть ещё один форум, который я могу рекомендовать Вам: Ссылка >>. Там тоже есть сильные математики, а также информатики. Вы получите удовольствие от общения с ними, если сумеете заинтересовать своими вопросами.

В меру своих возможностей я попытаюсь помочь Вам разобраться, сделав это в известной Вам консультации, на вопрос которой я уже ответил. Давайте пообщаемся там, если так уж Вам хочется, чтобы не плодить лишних сущностей.

Почему Вы не хотите оформить ответ на вопрос консультации? По-моему, Вы почти правильно ответили на него в мини-форуме. Нужно только уточнить, что для представления вещественных чисел, а не только натуральных, используются и отрицательные степени основания системы счисления. Иначе говоря, при основании базис позиционной системы счисления составляют числа

Я не считаю сабя достаточно компетентным в данном вопросе, имхо - Вы справитесь с этим достойнее.

Мне не хочется доминировать на портале, не будучи профильным специалистом в его разделах. Я думаю, что используя своё сообщение в мини-форуме консультации и моё уточнение, Вы сможете оформить вполне компетентный ответ.