Родились сегодня:
ivan_papus


Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1166

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 405587

Magic2hand

5-й класс

700


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

317

Россия, Северодвинск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

180

Беларусь, Гомель


ID: 405604

Ника

Посетитель

138


ID: 400669

epimkin

Профессионал

118


ID: 405537

hipunova1512

Посетитель

88


8.10.4

05.12.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-08 21:46:03-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201345

Раздел:  Математика
Автор вопроса: kuznetsova.79 (Посетитель)
Дата: 16.08.2021, 09:38 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Про треугольник ABC известно, что ∠A = 46° , ∠B = 55° . Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены.
Известно, что ∠APB = 120° .
Чему может быть равен ∠AQB° ? Возможно 2 разных ответа.

Последнее редактирование 17.08.2021, 08:25 Сергей Фрост (Управляющий)
Условие: ∠A = 46°, ∠B=55°, ∠APB=120°. Точка P расположена на дуге APB вне треугольника ABC и изогонально сопряжена с точкой Q .
Вычислить угол ∠AQB .

Решение : Поскольку размеры треугольника ABC не заданы и не влияют на искомый угол, начертим треугольник на координатной плоскости XOY с самыми простыми для расчёта координат-значениями : A(0; 0), B(1; 0), координаты вершины C вычисляем согласно заданным углам ∠A = 46°, ∠B=55°.

Вычисляем угловые коэффициенты сторон AC, BC и получаем уравнения этих сторон.
Аналогично получаем уравнения биссектрис La , Lb , делящих пополам углы A и B .

Пункт Условия "∠APB=120°" означает, что точка P расположена на дуге APB окружности радиуса R с центром в точке E . Вычисляем R , E и убеждаемся, что окружность НЕ является описанной (со спец-свойствами), поскольку расстояние EC = 0,43 явно меньше, чем R = 0,58 .

Далее методом перебора задаём несколько пробных значений X для абсциссы произвольной точки P . Для X = 0,5 вычисляем ординату дуги Y = -0,29 .
Ч-з точку P(0,5 ; -0,29) проводим отрезки AP и BP . А затем отражаем эти отрезки на лучи AQ , BQ ч-з соответствующие биссектрисы La , Lb , отмеряя (отчисляя) равные углы. Пары равных углов я отметил на чертеже приложенного Маткад-скриншота. Я добавил на скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Биссектрису угла C не обрабатывем, пользуясь удобным свойством "Все 3 изогонали сходятся в одной точке". Эта точка Q имеет координаты (0,74 ; 2,97).
По теореме синусов для треугольников вычисляем искомый угол ∠AQB = 19°.

Проделываем то же самое для других значений X (абсциссы точки P на дуге APB) и замечаем удивительное совпадение! Изогонально-сопряжённые точки Q перемещаются в разные стороны правее / левее родительского треугольника ABC в широких пределах в зависимости от X , но искомый угол ∠AQB = 19° с высокой стабильностью и точностью!
К сожалению, программа сервера rfpro.ru ограничивает размер экранного скриншота, и мне не удалось уместить рисунки для других значений X , но я могу добавить их в минифоруме, для желаемых Вами X-значений.

Ответ : Задача имеет вроде бы множество решений. Например, для точки P(0,5 ; -0,29) изогонально-сопряжённая точка Q имеет координаты (0,74 , 2,97), ∠AQB = 19°.
Для точки P(0,1 ; -0,13) изо-точка Q(-0,38 , 2,71), ∠AQB = 19°.
Для точки P(0,9 ; -0,13) изо-точка Q(1,74 , 2,38), ∠AQB = 19°.
Однако, независимо от размеров треугольника ABC и расположения точки P на дуге APB , угол ∠AQB = 19° всегда !
Объяснить сущность этого фокуса я не могу. Надеюсь, профессиональные математики увидят мой Ответ и прокомментируют, как такое происходит ?

Последнее редактирование 18.08.2021, 16:26 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
18.08.2021, 12:41
5
Мини-форум консультации # 201345

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

1

= общий =    16.08.2021, 15:57
kuznetsova.79:

Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены.


Объясните, пожалуйста, что это значит.

=====
Facta loquuntur.

q_id

kuznetsova.79

Посетитель

ID: 404574

2

= общий =    16.08.2021, 16:41
Гордиенко Андрей Владимирович:

Про треугольник ABC известно, что угол A=46 градусов, угол B=55градусов. Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены. Известно, что угол APB=120 градусов. Чему может быть равен угол AQB? Возможно два разных ответа. Условие задачи такое. Рисунка нет

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

3

= общий =    16.08.2021, 17:48
kuznetsova.79:

Условие задачи я прочитал и интересуюсь у Вас, что это значит: "Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены"?

=====
Facta loquuntur.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

4

= общий =    17.08.2021, 02:48
Гордиенко Андрей Владимирович:

На Ваш уточняющий Вопрос "Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены - Объясните, пожалуйста, что это значит" я уж собирался разъяснять Вам лично про суть изогонального сопряжения, кот-ю я вчера сам не знал и нашёл в инете.
Но потом я вспомнил, что подобное уже было, и этот Ваш учебный стиль, не всем понятный, побуждает других экспертов помогать лично Вам, а авторов Вопросов - уточнять Условие задачи.
Формулируйте пожалуйста свои учебные вопросы точнее и адресно, типа "Как лично Вы понимаете пункт Условия Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены?"

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

5

= общий =    17.08.2021, 02:56
Модераторам:

Предлагаю исправить корявый текст на вкладке ТекстВопроса :
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Про треугольник ABC известно, что ∠A = 46° , ∠B = 55° . Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены.
Известно, что ∠APB = 120° .
Чему может быть равен ∠AQB° ? Возможно 2 разных ответа.

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

6

= общий =    17.08.2021, 05:09
Алексеев Владимир Николаевич:

Владимир Николаевич! Я не буду против, если Вы ответите на вопрос этой консультации. Нежелание автора участвовать в обсуждении в данном случае отбило у меня охоту решить задачу.

=====
Facta loquuntur.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

7

= общий =    17.08.2021, 06:30
Гордиенко Андрей Владимирович:

Пожалейте меня, Андрей Владимирович. Я от Природы - слабоумный человек : соображалка у меня худо-бедно ещё работает, а память - я не всегда узнаЮ знакомых людей на улице, в школе я получал пятёрки по физмату, но двойки по рус- и украин-литературам за неспособность запоминать стихи… Да и сейчас я не могу нормально жить без списков вМагазин, вГости, комп-таймеров и самодельных шпаргалок-справочников.

Вчера я нашёл в инете суть Изогонального сопряжения, а щас уже забыл про эту муть, совершенно бесполезную для практики.
Я конечно могу напрячь остатки своего мозга, вбить в него понятие изогонального сопряжения, решить текущую задачу, но это для меня слишком дорого обойдётся: потеря Б к-ва времени и забывание др более полезных знаний в глубину.

Вы писали : "Нежелание автора участвовать в обсуждении" - я уверен, мадам kuznetsova.79 очень уважает Вас, и её задержка на Ваш доп-вопрос вызвана не совсем корректной формулировкой Вашего вопроса (см мой пост выше).
А может, мадам просто ещё не проснулась? У нас на ДальВостоке щас полдень, а у Вас ~ 5 час утра, а Вы не спите почему-то, и напрягаете свой мозг задачей… Вы отдыхаете когда-нибудь?

q_id

kuznetsova.79

Посетитель

ID: 404574

8

= общий =    17.08.2021, 11:03
Алексеев Владимир Николаевич:

Здравствуйте, уважаемый эксперт. Моё уважение ко всем вам огромное, не сомневайтесь. Просто иногда не получается войти в интернет и вовремя ответить. Живём в глубинке и интернет иногда от нас "убегает". Извините за задержку с ответом. Эти задачи решает мой ребенок по программе "Сириус". И условие этой задачи именно такое. И что такое "Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены" ей тоже непонятно. По этой простой причине мы и обратились к Вам за помощью. Тема блока в этой программе по математике "Изогональное сопряжение". Вот конспект, который дан перед темой. "Краткий конспект. Пусть дан треугольник ABC
и точка P. Тогда изогонали к прямым AP, BP, CP относительно соответствующих углов треугольника пересекаются в одной точке или параллельны. Если они пересекаются, то точка их пересечения Q называется изогонально сопряжённой точке P относительно треугольника ABC. Если P лежала не на стороне и не на описанной окружности треугольника, то изогональное сопряжение является взаимно-однозначным соответствием. Если точку P отразить относительно сторон треугольника, то изогонально сопряжённая ей точка Q будет центром окружности, проходящей через эти три отражения." Может, это поможет разобраться, а, может, и нет.
.Вот всё, чем я могу аргументировать своё негодование по поводу моего вопроса к Вам. Нам тоже непонятно по поводу изогонального сопряжения. Спасибо за понимание.

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

9

= общий =    17.08.2021, 11:51
kuznetsova.79:

Опять программа "Сириус"... Хороша программа, для усвоения которой нужно привлекать консультантов со стороны.

Искренне советую Вам выйти из участия в этой программе и не подвергать ненужным мукам своего ребёнка и себя.

Извините, пожалуйста, за то, что я отреагировал на сообщение, которое адресовано не мне.

=====
Facta loquuntur.

q_id

kuznetsova.79

Посетитель

ID: 404574

10

= общий =    17.08.2021, 12:03
Гордиенко Андрей Владимирович:

Спасибо Вам за совет, но школьная программа сейчас не может обходиться без этих всех программ, конкурсов и прочих дополнительных "вещей", к моему огромному сожалению. Скажу проще, принудительно-добровольное участие. Ребенок справляется, ему нравится, но, когда возникают трудности, мы обращаемся к Вам сюда. Вы даете исчерпывающие ответы, гениально все объясняете, поэтому ребенок, получается, у вас еще и учится. За это Вам спасибо. Постараемся все делать сами. Извините.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

11

= общий =    17.08.2021, 16:42
kuznetsova.79:

Я нашёл и скачал учебно-методические статьи по Вашей теме :
"Изогональное сопряжение" Ссылка1,
"ТочкиБрокара и ИзогональноеСопряжение" 222 кБ Ссылка2,
"Изогонально сопряженные точки" Ссылка3
"ИзогональноеСопряжение и ПедальныеТреугольники" 1236 кБ Ссылка4
"ИзогональноеСопряжение и ПедальныеТреугольники" 2600 кБ Ссылка5.

На плоскости XOY я построил простейший треугольник ABC с координатами вершин A(0; 0), B(1; 0), C(0,58 ; 0,6). Точка P расположена на дуге APB ниже оси OX .
Всё сходится согласно Вашему конспекту "дан треугольник ABC и точка P. Тогда изогонали к прямым AP, BP, CP относительно соответствующих углов треугольника пересекаются в одной точке или параллельны".
На вопрос "Чему может быть равен ∠AQB ? Возможно 2 разных ответа" пока я вижу приблизительный ответ:
Если точка P выбрана так, что изогонали к прямым AP, BP, CP параллельны, то точка Q находится бесконечно далеко от треугольника, и ∠AQB = 0 . Иначе, угол больше нуля. Его конкретное значение я пытаюсь получить через громоздкие формулы в Маткаде. Сделать это быстро не удаётся. Надеюсь, завтра у меня что-то получится.

q_id

kuznetsova.79

Посетитель

ID: 404574

12

= общий =    17.08.2021, 17:10
Алексеев Владимир Николаевич:

Спасибо Вам огромное! Мы тоже изучаем данные Вами ссылки и пытаемся решить. Спасибо!

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

13

= общий =    17.08.2021, 17:19
kuznetsova.79:

Благодарю Вас за ответ! Пусть будет по-Вашему. Успехов Вам и Вашему ребёнку! А я прекращаю практику решения задач, начиная с повышенной сложности. smile

=====
Facta loquuntur.

q_id

kuznetsova.79

Посетитель

ID: 404574

14

= общий =    18.08.2021, 12:46
Алексеев Владимир Николаевич:

Здравствуйте, спасибо Вам огромное!

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

15

= общий =    18.08.2021, 12:55
kuznetsova.79:

Наздоровье Вам и Вашей доче!
Мозги мои выжаты до нуля. Пойду в тайгу отдыхать.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

16

= общий =    19.08.2021, 10:13
Алексей Гладенюк:

Для проверки давно-замеченного искажения картинок сервер-программой я загружаю 2 похожих картинки. Но у первой 201346-796.png ширина 796 пикс (менее ранее-заданного Вами лимита 800)

А у второй - 201346-970.png ширина 970 пикс (более лимита 800)
Сегодня искажений нет. Значит, Вы правы!

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

17

= общий =    20.08.2021, 03:45
kuznetsova.79:

У меня возникли сомнения, будто мои скриншоты отображаются НЕдостаточно чётко (размыты) у авторов консультаций. Админы портала rfpro.ru утверждают rfpro.ru/forum/gopost/112608 (Ссылка), будто причиной ухудшения качества картинок в моём браузере является заниженное Разрешение экрана, заданное на моём мониторе для стариковских глаз, а у молодых читателей с высоким разрешением экрана всё отображается чётко. Я лично не страдаю, потому что у меня есть исходные картинки высочайшего качества, не претерпевшие операцию ресайза (правку размера) на сервере. Но меня волнует качество скринов у адресатов моих Ответов.

Ответьте пожалуйста : На каком экране (монитор или смартфон) Вы смотрите скрины Ответов? Какое у Вас Разрешение экрана?
Замечаете ли Вы размытие формул на скрине в зависимости от ширины картинки? (Чем шире картинка, тем сильнее сервер ресайзит).

На выше-скрине я изобразил проверку своих формул, вводимых в Маткад. Сам Маткад вычисляет без-ошибочно, но я мог задать Маткаду ошибочные формулы, и для страховки от ошибок я сравнил работу своих формул с образцом, показанным на странице "Изогональное сопряжение" ru.wikipedia.org...льное_сопряжение . Для этого я расположил точку P не на дуге APB , а примерно так, как на wiki-сайте-образце. Проверка успешна.

q_id

kuznetsova.79

Посетитель

ID: 404574

18

= общий =    20.08.2021, 16:11
Алексеев Владимир Николаевич:

Здравствуйте, "Но у первой 201346-796.png ширина 796 пикс (менее ранее-заданного Вами лимита 800)", вот здесь отличное качество, то есть на первой картинке(если я правильно поняла вопрос)

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

19

= общий =    20.08.2021, 17:51
kuznetsova.79:

У небольших картинок всегда высокое качество (сервер не портит мелкие картинки ужатием их), об этом все знают много лет.
Я задал Вам конкретный и хорошо-продуманный вопрос "На каком экране (монитор или смартфон) Вы смотрите скрины Ответов? Какое у Вас Разрешение экрана? Замечаете ли Вы размытие формул на скрине в зависимости от ширины картинки?"

Другими словами : Ухудшилось ли качество широкой картинки по сравнению с неширокой? Я беспокоюсь за получателей моих скринов и за Вас в том числе. Если Вы не ответите на мой вопрос или ответите снова неадекватно, я поверю админам и увеличу ширину своих скринов до 970 пикс, полагая, что качество широких картинок устраивает Вас.

q_id

kuznetsova.79

Посетитель

ID: 404574

20

= общий =    20.08.2021, 18:03
Алексеев Владимир Николаевич:

Меня все устраивает. Качество широкой картинки по сравнению с неширокой не изменилось(касаемо моего мнения). Сейчас я достаточно адекватно ответила?

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

21

= общий =    20.08.2021, 18:26
kuznetsova.79:

Да, адекватно, Спасибо Вам!
Но Вы не сообщили "На каком экране (монитор или смартфон) Вы смотрите скрины Ответов? Какое у Вас Разрешение экрана?". Это уже не очень важно, но полезно мне для статистики и правильного расчёта в будущих ответах.

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1166

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 317

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 200

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 118

sglisitsyn

6-й класс

Рейтинг: 49

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

Рейтинг: 44