Условие: [$8736$]A = 46°, [$8736$]B=55°, [$8736$]APB=120°. Точка P расположена на дуге APB вне треугольника ABC и изогонально сопряжена с точкой Q .
Вычислить угол [$8736$]AQB .

Решение : Поскольку размеры треугольника ABC не заданы и не влияют на искомый угол, начертим треугольник на координатной плоскости XOY с самыми простыми для расчёта координат-значениями : A(0; 0), B(1; 0), координаты вершины C вычисляем согласно заданным углам [$8736$]A = 46°, [$8736$]B=55°.

Вычисляем угловые коэффициенты сторон AC, BC и получаем уравнения этих сторон.
Аналогично получаем уравнения биссектрис La , Lb , делящих пополам углы A и B .

Пункт Условия "[$8736$]APB=120°" означает, что точка P расположена на дуге APB окружности радиуса R с центром в точке E . Вычисляем R , E и убеждаемся, что окружность НЕ является описанной (со спец-свойствами), поскольку расстояние EC = 0,43 явно меньше, чем R = 0,58 .

Далее методом перебора задаём несколько пробных значений X для абсциссы произвольной точки P . Для X = 0,5 вычисляем ординату дуги Y = -0,29 .
Ч-з точку P(0,5 ; -0,29) проводим отрезки AP и BP . А затем отражаем эти отрезки на лучи AQ , BQ ч-з соответствующие биссектрисы La , Lb , отмеряя (отчисляя) равные углы. Пары равных углов я отметил на чертеже приложенного Маткад-скриншота. Я добавил на скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Биссектрису угла C не обрабатывем, пользуясь удобным свойством "Все 3 изогонали сходятся в одной точке". Эта точка Q имеет координаты (0,74 ; 2,97).
По теореме синусов для треугольников вычисляем искомый угол [$8736$]AQB = 19°.

Проделываем то же самое для других значений X (абсциссы точки P на дуге APB) и замечаем удивительное совпадение! Изогонально-сопряжённые точки Q перемещаются в разные стороны правее / левее родительского треугольника ABC в широких пределах в зависимости от X , но искомый угол [$8736$]AQB = 19° с высокой стабильностью и точностью!
К сожалению, программа сервера rfpro.ru ограничивает размер экранного скриншота, и мне не удалось уместить рисунки для других значений X , но я могу добавить их в минифоруме, для желаемых Вами X-значений.

Ответ : Задача имеет вроде бы множество решений. Например, для точки P(0,5 ; -0,29) изогонально-сопряжённая точка Q имеет координаты (0,74 , 2,97), [$8736$]AQB = 19°.
Для точки P(0,1 ; -0,13) изо-точка Q(-0,38 , 2,71), [$8736$]AQB = 19°.
Для точки P(0,9 ; -0,13) изо-точка Q(1,74 , 2,38), [$8736$]AQB = 19°.
Однако, независимо от размеров треугольника ABC и расположения точки P на дуге APB , угол [$8736$]AQB = 19° всегда !
Объяснить сущность этого фокуса я не могу. Надеюсь, профессиональные математики увидят мой Ответ и прокомментируют, как такое происходит ?