Здравствуйте, alexandr!

Предлагаю Вам следующее решение задачи.

Дано: график зависимости мгновенной угловой скорости шарика от времени; м -- радиус окружности, по которой вращается шарик; рад/с -- средняя угловая скорость шарика.
Определить: -- модуль вектора изменения скорости шарика за промежуток времени от с до c (в м/с, округлив до десятых); -- модуль среднего ускорения шарика за тот же промежуток времени (в м/с², округлив до десятых).



Вычислим, чему равно угловое перемещение шарика за промежуток времени от с до c. Для этого воспользуемся тем, что средняя угловая скорость шарика за указанный промежуток времени составляет рад/с. Значит, за этот промежуток времени угловое перемещение шарика составит


На угол за рассматриваемый промежуток времени повернётся и вектор скорости шарика. В момент времени с проекции вектора скорости шарика составляют (м/с) (считая, что угол поворота шарика в начальный момент времени равен нулю), м/с. В момент времени с проекции вектора скорости шарика составляют (м/с), (м/с). Искомый модуль вектора изменения скорости шарика равен длине отрезка, соединяющего концы векторов и отложенных от одной точки, то есть

Можно также применить теорему косинусов, получив

Модуль среднего ускорения шарика за тот же промежуток времени составляет


Ответ: м/с, м/с².

Условие : Радиус окружности R = 4 м ; промежуток времени t1 = 0 с ; t2 = 6 c .
Вычислить модуль вектора изменения скорости шарика за указанный промежуток времени.
Вычислить модуль среднего ускорения шарика за этот же промежуток времени.

Решение : В некорректном Условии этой задачи приходится что-то домысливать/догадываться, а что-то наоборот : проверять и отбрасывать. Например : избыточные (дублирующие) данные "Средняя угловая скорость равна 1,25 рад/с" надо сверить с графиком, и забраковать Условие при обнаружении противоречий. Однако, та же "Средняя угловая скорость", вычисленная по графику, как разность площадей с розовой заливкой на графике (положительное направление скорости) и с голубой заливкой (реверс) даёт нам 7,5 рад. Делим их на 6 секунд (усредняем) и получаем те же 1,25 рад/с . Значит, несоответствия нет, и можно решать дальше.

В фразе "Определите модуль вектора изменения скорости" не уточнено, о которой скорости запрос? Ниже "Ответ дайте в м/с" позволяет догадаться, что надо получить вектор изменения Линейной (а не угловой) скорости. А потом вычислить его модуль.

Обозначим буквой [$916$]V^[$8594$] вектор изменения Линейной скорости. Запишем уравнение:
V^[$8594$]₀ + [$916$]V^[$8594$] = V^[$8594$]_k , где V^[$8594$]₀ и V^[$8594$]_k - векторы начальной и конечной Линейной скорости соответственно.
Сначала кажется, будто всё просто: достаточно вычислить разность [$916$]V^[$8594$] = V^[$8594$]_k - V^[$8594$]₀ , и задача решена! Но надо вспомнить, что вектор угловой скорости имеет всего 1 измерение : вперёд/назад, а векторы линейной скорости - уже 2 измерения на плоскости !

Чертим плоскость XOY . Примем направление Ox - вправо по рисунку, и от него отсчитываем угол [$966$] вращения шарика, принимая положительное направление против часовой стрелки. Условие "Маленький шарик" разрешает нам пренебречь размерами шарика и рассматиривать его как точку.

Определение : Среднее ускорение - это отношение изменения скорости к промежутку времени, за кот-й это изменение произошло. Вычислить среднее ускорение можно формулой:
a[sub]ср[/sub] = [$916$]V / [$916$]t , где a - вектор ускорения . Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости
[$916$]V = V - V[sub]0[/sub] (цитата из статьи "Ускорение. Среднее ускорение" Ссылка1 )

Вычисления я сделал в приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с 2мя графиками прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ : модуль вектора изменения скорости шарика равен 10,1 м/с ;
модуль среднего ускорения шарика = 1,7 м/с² , направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора [$916$]V^[$8594$] .