Здравствуйте, verunymel!
В пространстве даны точки А(-2;-4;1)
В(3;4;1) С(5;3;1) S(1;-4;0)
Сделать схематично чертеж пирамиды SABC и найти:
а) длину и уравнения ребра АВ;
б) площадь и уравнение грани АВС;
в) высоту, проведенную из вершины S к грани АВС, и ее уравнения;
г) проекцию вершины S на плоскость АВС;
д) уравнения проекции ребра АS на грань АВС;
е) уравнения прямой, проходящей через вершину S параллельно ребру АВ;
ж) уравнение плоскости, проходящей через вершину S параллельно грани АВС;
з) угол между ребрами АВ и AS;
и) угол между ребром AS и гранью АВС;
к) угол между гранями АВС и АВS;
л) координаты центра тяжести пирамиды АВСS;
м) объем пирамиды АВСS.
Пирамида изображена на рисунке в прикреплённом файле. Рисунок был получен на этом калькуляторе:
Ссылка >>.
а)
(ед. длины) -- длина ребра
-- канонические уравнения прямой
-- параметрические уравнения прямой
или
-- уравнения прямой
как результата пересечения двух плоскостей;
б)
значит, в качестве нормального вектора плоскости
можно принять вектор
-- уравнение грани
(ед. площади)
-- площадь грани
в) длина высоты, которая проведена из вершины
к грани
равна расстоянию от точки
до грани
Поскольку грань
параллельна плоскости
а точка
лежит в этой плоскости, постольку искомая длина высоты равна
(грань
задаётся уравнением
или
). Эту высоту можно задать уравнениями и двойным неравенством
г) проекцией вершины
на грань
является точка
д) проекцию ребра
на грань
можно задать уравнениями и двойным неравенством
е)
-- уравнения прямой, проходящей через вершину
параллельно ребру
ж)
-- уравнение плоскости, проходящей через вершину
параллельно грани
з)
-- угол между рёбрами
и
и)
-- угол между ребром
и гранью
к)
-- нормальный вектор грани
его модуль равен
один из углов между гранями
и
составляет
а другой --
л) координаты центра тяжести пирамиды суть средние арифметические соответствующих координат её вершин, то есть
м)
(ед. объёма)
-- объём пирамиды.
Об авторе:
Facta loquuntur.