Здравствуйте, ushatalal!
Пусть требуется решить дифференциальное уравнение
Рассмотрим сначала однородное уравнение
Корнями его характеристического уравнения
являются числа
и
Поэтому общее решение заданного уравнения -- функция
Чтобы определить частное решение заданного уравнения. воспользуемся методом вариации произвольных постоянных:
где
-- фундаментальная система решений однородного уравнения, а
-- решения системы дифференциальных уравнений
или
Из второго уравнения системы получим, что
а после подстановки этого выражения в первое уравнение получим, что
Тогда
(постоянную интегрирования опускаем),
(постоянную интегрирования опускаем; вычисление интеграла смотрите здесь:
Ссылка >>)
;
(постоянную интегрирования опускаем; вычисление интеграла смотрите здесь:
Ссылка >>)
(постоянную интегрирования опускаем)
-- частное решение заданного уравнения;
-- общее решение заданного уравнения.
Об авторе:
Facta loquuntur.