Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 201139
10.06.2021, 15:41
0.00 руб.
0 1 1
Образование
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: В тетраэдре SABC все рёбра равны 1. M - середина SA, N лежит на ребре AC, причём AN=1/4AC. Построить сечение тетраэдра плоскостью `alpha`, проходящей через точку M перпендикулярно прямой BN. Найти площадь полученного сечения.
Сечение я построил, а как найти площадь? Помогите пожалуйста

Обсуждение

давно
Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт
259041
7459
11.06.2021, 15:54
общий
11.06.2021, 16:17
это ответ
Дано : В тетраэдре SABC все рёбра равны 1. M - середина SA, N лежит на ребре AC, AN = (1/4)·AC .
Построить сечение тетраэдра плоскостью [$945$] , проходящей ч-з тчк M [$8869$] прямой BN. Найти площадь полученного сечения.

Решение : Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат так, чтобы в начале координат оказалась вершина A(0; 0; 0).
Условие "все рёбра равны 1" означает, что основание тетраэдра [$916$]ABC есть правильный треугольник, в котором [$8736$]BAC = 60°. Тогда [$8736$]EAC = [$8736$]BAC / 2 = 30°, потому что точка E - середина [$916$]ABC и проекция вершины S на плоскость xOy .
Абсцисса точки E : Ex = AC / 2 = 0.5 ; ордината точки E : Ey = Ex·tg(30°) = [$8730$]3 / 6 .
Точка M - середина отрезка AS, поэтому координаты точки М легко вычислить как среднее арифметическое значение координат вершин A и S .
Координаты точки N вычисляем по формуле N[$8594$] = (A[$8594$] + [$955$]·C[$8594$]) / (1 + [$955$] ), где [$955$] = (1/4) / (3/4) = 1/3 - соотношение длин отрезков AN к NC .

Условие "Построить сечение тетраэдра плоскостью [$945$] , проходящей ч-з тчк M [$8869$] прямой BN" означает, что направляющий вектор прямой BN есть вектор нормали плоскости [$945$] . Как составить уравнение плоскости, проходящей ч-з заданную точку перпендикулярно нормаль-вектору - хорошо написано в учебно-методической статье "Уравнение плоскости" mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html (Ссылка1)

Вычисления я сделал в приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот и чертёж сечения прилагаю. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ : Площадь сечения равна 0,137 кв ед.
В Решении использованы формулы из учебно-методических статей "Формулы деления отрезка в данном отношении" Ссылка3 , "Уравнение прямой в пространстве" Ссылка4

Не все преподаватели принимают решения в Маткаде. Но Вы получили от Маткада главное: Алгоритм решения и Правильный ответ (Маткад никогда не ошибается в вычислениях в отличие от меня). Теперь Вы можете импровизировать и упростить Решение, используя полученную от Маткада находку: плосксть [$945$] оказывается параллельна оси Oz . Это позволит Вам заменить трудоёмкие вычисления в пространстве на простые вычисления в плоскостях и их проекциях.
Форма ответа