Пусть, f(x)=x⁴+2[$183$]x³+x²+x+1, g(x)=2[$183$]x²+3[$183$]x+1.

Тогда f(0)=1, g(0)=1
f(1)=6[$8801$]0 (mod 3), g(1)=6[$8801$]0
f(2)=16+16+4+2+1=39 [$8801$] 0 (mod 3), f(2)=8+6+1=15[$8801$]0

Если записать f(x)[$8801$]p(x)[$183$]g(x) +r(x) (mod 3), где r - "остаток",
то, например, при x=2 получаем:
f(2)=p(2)[$183$]g(2)+r(2) или 0 [$8801$] p(x)[$183$]0 + r(2) [$8658$] 0 [$8801$] 0 + r(2) [$8658$] r(2) [$8801$] 0.

Аналогичным образом при x = 3 получаем также r(3)[$8801$]0.

При x=1 f(1)[$8801$]p(1)[$183$]g(1) + r(1) или 1[$8801$]1[$183$]p(1)+r(1) или 1[$8801$]p(1)+r(1)
Поскольку r(1)<p(1), т.к. r - "остаток", то теоретически возможны варианты: p(1) = 1, r(1)=0, а также p(1)=2, r(1)=0 или r(1)=1.
Однако уравнению 1[$8801$]p(1)+r(1) удовлетворяет только пара p(1)=1, r(1)=0.

Значит, во всех трех случаях остаток равен 0.

ОТВЕТ: 0

Вроде бы, так.