x=a[$183$]ch(u)[$183$]cos(v)
y=a[$183$]ch(u)[$183$]sin(v)
z=b[$183$]sh(u)

Воспользуемся тем, что cos²([$945$])+sin²([$945$])=1; ch²(w) - sh²(w) =1 и получим уравнение данного гиперболоида в явном виде. Тогда

x² + y² = a²[$183$]сh²(u)
=> сh²(u) = (x² + y²)/a²

sh²(u) = z²/b²

=> ch²(w) - sh²(w) = (x² + y²)/a² - z²/b² =1

Значит, рассмотрим функцию g(x,y,z) =(x² + y²)/a² - z²/b²
Тогда наш гиперболоид - одна из линий уровня этой функции при g(x,y,z) =1

Найдем вектор нормали в заданной точке (x₀, y₀, z₀):

grad(g) =(2[$183$]x/a²; 2[$183$]y/a²; -2[$183$]z/b²);

Значит, можно взять вектор (x₀/a²; y₀/a²; -z₀/b²)

Получаем уравнение касательной плоскости:

x₀/a²[$183$](x - x₀) + y₀/a²[$183$](y - y₀) - z/b²[$183$](z - z₀) = 0

или

x₀[$183$]b²[$183$](x - x₀) + y₀[$183$]b²[$183$](y - y₀) - z[$183$]a²[$183$](z - z₀) = 0
где, x₀=a[$183$]ch(u)[$183$]cos(v)
y₀=a[$183$]ch(u)[$183$]sin(v)
z₀=b[$183$]sh(u)

При желании, подставив выражения для x, y и z из условия, уравнение плоскости можно записать через u и v. Не знаю, в каких переменных требуется ответ.