Доказательство методом математической индукции.

При n=1 неравенство выполняется: 0 < 2 [$8804$] 4.
При n=2 неравенство также выполняется: 0 < 2 [$8804$] 2.

Для n>1.
Предположим, что неравенство выполняется при n=k, т.е. x_K=2^k/k! и 0 < 2^k/k! [$8804$] 4/k.
Рассмотрим x_K+1 = 2^K+1/(k+1)!=2^k/k![$183$]2/(k+1)=x_K[$183$]2/(k+1)
Умножая неравенство для x_K на 2/(k+1), получаем:
0< X_K+1 = x_K[$183$]2/(k+1) [$8804$] (4/k)[$183$]2/(k+1) = 4/(k+1)[$183$](2/k)[$8804$]4/(k+1)
или 0< X_K+1 [$8804$] 4/(k+1)

Что и требовалось доказать.

Насчет сходимости. Рассмотрим 0< X_K [$8804$] 4/k
Предел для ограничения снизу (0) при k стремящемся к бесконечности равен 0.
Предел для ограничения сверху (4/k) при k стремящемся к бесконечности также равен 0.
Значит, предел X_K при k стремящемся к бесконечности также равен 0, т.е. x_K сходится, и предел равен 0.