Кривая линия задана системой из 2х уравнений : x
2 + y
2 = 1 , z
2 + y
2 = 1 .
Требуется составить уравнение главной нормали в точке M(1,0,1) на этой кривой.
Решение: Всегда трудно решать задачи в пространственной геометрии, если не можешь представить исследуемую фигуру в воображении или на чертеже.
Первое заданное уравнение x
2 + y
2 = 1 - это окружность с радиусом R = 1 и центром в начале координат на плоскости xOy (z = 0).
Второе уравнение z
2 + y
2 = 1 - аналогичная окружность на плоскости yz (x = 0). На первый взгляд кажется, будто нам дана сфера. Но это предположение ошибочно, тк уравнение сферы
x
2 + y
2 + z
2 = R
2 . Мне понадобилось 4 дня, чтобы найти и понять формулы вычисления Главной нормали, а также создать объёмный чертёж заданной фигуры в программе Маткад с возможностью просмотра этого чертежа при его вращении.
Фигура представляет собой Эллиптический цилиндр с огромной дырой, "простреленной" сбоку. На ниже-приложенном чертеже мы видим трубу высотой h = 2·R = 2 и радиусом R = 1 с бесконечно-тонкими стенками. В этой трубе сбоку просверлили отверстие диаметором R = 1 . В итоге от боковой цилиндрической поверхности осталось 2 лепестка, касающихся в 2х точках
Ещё одна затрудняющая особенность фигуры: Любая из бесчисленного множества точек на боковой цилиндрической поверхности имеет главную нормаль, ориентированную строго-горинтально в направлении прочь от оси цилиндра. В частности, вектор глав-нормали в точке Q(1, 0, 0) имеет направление nQ(1, 0, 0). Но только крайние точки отрезка MN имеют наклонные векторы глав-нормали
nM(1, 0, 1) и nN(1, 0, -1) .
Наши лучшие эксперты уже показали Вам 2 решения. И вероятно мой Ответ уже избыточен. Однако в процессе кропотливого изучения материала я нигде не увидел допустимость применения упрощённых методов, применённых в выше-ответах. Во многих серьёзных статьях и форумах вектор главной нормали рекомендовано вычислять по надёжным, полноценным формулам :
Направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение :
[[r[sup][$8594$][/sup]' [$215$] r[sup][$8594$][/sup]''] [$215$] r[sup][$8594$][/sup]'] - цитата из
Ссылка1 ,
где r = r(t) = {(x(t), y(t), z(t)} - радиус-вектор кривой, заданной параметрически, а
[r
[$8594$]' [$215$] r
[$8594$]''] - векторное произведение её первой и второй производных.
Я долго недоумевал, почему авторы академических учебников не применяют упрощённую формулу, использованную в выше-ответах? После кропотливых проверочных сравнений/вычислений оказалось, что упрощённая формула даёт НЕ всегда правильный результат. Я заметил, что направление второй производной совпадает с направлением главной нормали в плоских кривых и в пространственных кривых с равномерным кручением.
Андрей Владимирович, как опытный математик, сразу сообразил, что наша кривая - плоская, хотя и задана в пространстве.
В простейшей винтовой линии, заданной уравнением
{cos(t) , sin(t) , t} направления второй производной и главной нормали совпали. Но в чуть более сложной "винтовке"
{cos(t) , sin(t) , t
2} в точке (-1, 0 , 1) при t0=1 угол м-ду указанными направлениями оказался 6° !
Вы можете выбрать любой из 3х полученных Вами Ответов. Но для защиты первого варианта Ответа Вам надо быть готовым к доп-вопросам настороженного преподавателя типа : "Обоснуйте возможность упрощения" или "Объясните разницу м-ду нормалью и главной нормалью".
Во 2м Ответе эксперт vsetin изящно оперирует тригонометрическими параметрами кривой. Но если Ваш преподаватель старенький или уставший, то нестандартные приёмы решения могут вызвать его дополнительные уточняющие вопросы, а нужны ли они Вам?
Вычисления я сделал в приложении
Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Прилагаю также чертёж объёмный и видео-вращение фигуры. На нём мелькает курсор, которым я вращал фигуру, чтоб получше показать её Вам.
[video=rfpro]https://rfpro.ru/d/13061.mp4[/video]
(при попытке просмотра устаревшим браузером под WindowsXP сервер сообщает "Файл не найден", даю доп-ссылку на скачивание в ниже-мини-форуме.)Ответ : уравнение главной нормали в точке (1,0,1) в параметрической форме: (p+1 , 0 , p+1) , где p - любое действительное число.
Учебные статьи: Нормаль
ru.wikipedia.org/wiki/Нормаль , Главная нормаль и Бинормаль
Ссылка4 ,
Разница м-ду нормалью и главной нормалью к кривой
dxdy.ru/post248357.html ДифференциальнаяГеометрия.pdf
Ссылка6 , Кривая вПространстве.pdf
Ссылка7ДифференциГеометрия.pdf
Ссылка8 , Сопровождающий3хГранникКривой.gif
Ссылка9, ДифГеометрия.pdf
Ссылка10