По сути, это задача на законы Киргхофа, но в одном из элементов цепи зависимость между U и I немного необычная. Найдем ее.

Для этого рассмотрим график как y=y(x). Где y обозначено как I, а x - как U. Нас, в основном, интересует уравнение второго участка (наклонной прямой).
Заметим, что при U=1 В I=0, а при U=2,5 В I=500 мА=0,5 А.

Отсюда получаем искомое уравнение I=(U-1)/3 или U=3*I +1

Теперь рассмотрим два случая подключения черного ящика: последовательное и параллельное.

1) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ.

Уравнение для напряжений: [$8496$] = I*r + I*R + (3*I+1), где r- внутреннее сопротивление батарейки, а R -сопротивление реостата.

или, подставляя численные значения, получаем

5 = I + I*R + 3*I+1

Откуда находим

I = 4/(R+4)

Это также сила тока, протекающего через реостат. Поскольку P=U*I, а для реостата U=I*R, то для реостата P=I²*R

или P=16*R/(R+4)²

Нам нужно найти максимальную мощность. Значит, подберем соответствующее значение R.

Рассмотрим функцию f(x)=x/(x+a)² и найдем ее точку максимума. Для этого найдем ее первую производную и приравняем к нулю.

f'(x) =1/(x+a)² +x*(-2)/(x+a)³ = (x+a -2*x)/(x+a)³= (a -x)/(x+a)³=0

Откуда находим x=a. На всякий случай, если вычислить вторую производную в этой точке, то она будет отрицательной. Значит, это точка максимума.

Таким образом, для последовательного соединения Pmax =16*4/(4+4)²= 1 (Вт).

ПРИМЕЧАНИЕ (дополнительная проверка). При этом сопротивлении реостата I=4/(4+4) = 0,5 (А), а на черный ящик подается напряжение U=3*I+1 = 2,5 В, т.е. такое возможно - мы находимся на наклонной части ВАХ черного ящика.

2) ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ.

Уравнение для напряжений:

[$8496$] = I*r + I₁*R, где I₁- сила тока, протекающего через реостат, а I - сила тока, втекающего в контур.

Уравнение для токов: I=I₁ + I₂, где I₂ - сила тока протекающего через черный ящик.

Кроме того, I₂ =(I₁*R -1)/3, где I₁*R - напряжение, которое одинаковое как на реостате, так и на черном ящике.

Нас интересует сила тока, протекающего через реостат (I₁). Подставим численные значения для вышеуказанных уравнений:

5 = I + I₁*R или 5 = (I₁ + I₂) + I₁*R

I₂ = (I₁*R -1)/3

=> 5= I₁ + (I₁*R -1)/3 + I₁*R или 16/3 = I₁*(4*R/3 +1)

или 16 =I₁*(4*R +3)

Откуда I₁=16/(4*R+3) = 4/(R+3/4)

чему соответствует значение P=I₁²*R=16*R/(R+3/4)², которое достигает максимума при R=3/4 (см. пример с функцией f(x) в пункте 1).

Значит, Pmax = 16*3/4/(3/4+3/4)²=12*4/9 = 16/3 [$8776$]5,33 (Вт), что превышает соответствующее значение в пункте 1 (при последовательном соединении.

ПРИМЕЧАНИЕ (дополнительная проверка). Значению R=3/4 соответствует I₁=4/(3/4+3/4)=8/3 (А).
=> I₂= (8/3*3/4 -1)/3 = 1/3 (А). Чему соответствует напряжение U=3*1/3+1 = 2 (В). Значит, такое возможно.

ОТВЕТ: 16/3 [$8776$]5,33 Вт (параллельное соединение)
Вроде бы. так.