Здравствуйте, patrakovzenit!

Определить время за которое тело упадет на землю с высоты h=2000 км. Сопротивление воздуха пренебречь. Как изменится это время если h=~

Дано: км, км -- высоты, с которых тело падает на поверхность Земли.
Определить: -- время, за которое тело упадёт на поверхность Земли с высоты -- отношение времени падения тела на поверхность Земли с высоты к времени падения тела на поверхность Земли с высоты

Первая часть Вашего вопроса является одним из предметов рассмотрения задачи, условие и решение которой в общем виде, согласно [1], показаны в прикреплённых файлах. После подстановки в формулу из приведенного решения задачи числовых значений величин км, м/с², получим



Как я понимаю, понятие бесконечной высоты лишено физического смысла, поскольку высота над поверхностью Земли не может превышать радиуса Вселенной, относительно которого точных данных нет. Кроме того, поставленная задача может быть решена только с привлечением теории относительности ввиду релятивистского эффекта возрастания массы тела. Поэтому на вторую часть Вашего вопроса я не отвечу.

Ответ: с.
Литература
1. Теоретическая механика. Динамика. Практикум. В 2 ч. Ч. 1. / В. А. Акимов [и др.]. -- Минск: Новое знание; М.: ЦУПЛ. -- 2010.

Сложность этой задачи - в вычислении интеграла.

Считаем Землю абсолютно неподвижной. Поскольку высота составляет треть радиуса Земли, а во второй части спрашивается о еще больших значениях, то рассчитываем силу взаимодействия по закону Ньютона. Тогда

m*dv/dt = - [$947$]*m*M/r², где - M - масса Земли; r - расстояние от тела до центра Земли; [$947$] - постоянная всемирного тяготения.

или dv/dt = - [$947$]*M/r²

r=R+h, где R - радиус Земли; h - текущая высота над Землей

Делаем замену переменных (r на h).

d²h/dt² = - [$947$]*M/(R+h)²

Умножим обе стороны уравнения на dh/dt и получим:

dh/dt*d²h/dt² = - [$947$]*M/(R+h)²*dh/dt

d( (dh/dt)²/2)/dt = [$947$]*M*d( 1/(R+h) )/dt

Откуда, интегрируя, получаем: (dh/dt)² = 2*[$947$]*M/(R+h) + C, где C - константа, которая определяется из условия при t=0, h=H, v=0.

0= 2*[$947$]*M/(R+H) + C

=> C = - 2*[$947$]*M/(R+H)

Значит, (dh/dt)² = 2*[$947$]*M/(R+h) - 2*[$947$]*M/(R+H)

или dh/dt= sqrt( 2*[$947$]*M/(R+h) - 2*[$947$]*M/(R+H) )

или, разделяя переменные, получаем уравнение:

dt = dh/sqrt( 2*[$947$]*M/(R+h) - 2*[$947$]*M/(R+H) )

Осталось проинтегрировать это уравнение. Вручную я бы, вряд ли, это сделал, но с помощью программ интегрирования в Интернете получаем готовое выражение (не буду его здесь приводить, лишь обозначим его как F(h)). В этом и есть сложность этой задачи: интегрирование.

Получаем выражение вида t = F(h) + C1, где C1 - константа, которую находим из условия при t=0 h=H, т.е.

0=F(H)+C1, откуда C1=-F(H).

Значит, искомое T= F(0) - F(H), т.е. падение до нулевой высоты.

Что касается, бесконечной высоты, то нужно просто найди предел найденного выражения для T при H стремящемся к бесконечности. Скорее всего, при вычислении этого предела придется воспользоваться правилом Лопиталя.

ПРИМЕЧАНИЕ. Разумеется, бесконечная высота - это абстракция этой задачи, но высота 2000 км - это тоже абстракция - на этой высоте уже придется учитывать влияние других планет, например, Солнца, чего мы не делали, да и неподвижной Земли не бывает, а значит, тело будет не падать на Землю, а "догонять" Землю. В этом случае уравнения совершенно другие. В общем, вся эта задача - сплошное упрощение реальной ситуации и одновременно ее усложнение (в первую очередь, появление очень непростых интегралов).