К сожалению, Ваш рисунок не открывается, но, как решать задачу, понятно.

Сложность этой задачи не в вычислении интегралов, а в правильном составлении интегралов (подынтегральных выражений).

Да, применяем формула Гаусса-Остроградского. Вычисляем интеграл по объему:

[$8747$] div(A) dV,

где div(a) = [$8706$]A_x/[$8706$]x + [$8706$]A_y/[$8706$]y + [$8706$]A_z/[$8706$]z

В данном случае div(A) = 3*x² + 3*y² + 3*z² = 3*r², где r - расстояние до начала координат.

То есть точки с одинаковой дивергенцией вектора А лежат на сферах с центром в начале координат. Поэтому интегрировать придется тоже "сферами".

Теперь смотрим какая у нас поверхность.

x² + y² + z² = x или (x -1/2)² + y² + z² = (1/2)²

То есть это сфера радиуса 1/2 с центром в точке (1/2; 0; 0), то есть ее "южный полюс" находится в начале координат, а "северный" в точке (1; 0; 0).

Значит, находясь в начале координат, будем через эту сферу проводить сферы радиусом от 0 до 1, центр которых в начале координат. В дальнейшем, чтобы не было путаницы, о какой сфере идет речь, сферу, уравнение которой дано в условиях задачи, будем называть телом или сферическим телом.

Опять же, для удобства будем обозначать радиус тела как R (R=1/2).

Тогда искомый интеграл [$8747$] div(A) dV равен:

[$8747$] (3*r²)*S(r)*dr с пределами от 0 до 2*R,

где r- радиус какой-либо сферы с центром в начале координат (на каждой такой сфере радиуса r одинаковое значение дивергенции = 3*r²);
S(r) - площадь части сферы радиуса r, находящейся внутри тела.

Значит, теперь ищем S(r).

Если смотреть из начала координат, то часть сферы радиуса r, находящаяся внутри тела, представляет собой поверхность сферы, вырезанную конусом, ось которого проходит через "северный" и "южный" полюса сферического тела (через первоначальную ось Х), а образующая составляет с осью некий угол [$966$], зависящий от r.

Возможно, Вам известно, как вычислить площадь этой части сферы.

У меня получилась формула S([$966$])=2*[$960$]*r²*(1- cos([$966$])).
Кстати, при [$966$]=2*[$960$] получаем хорошо знакомую формулу полной поверхности сферы.

При этом cos( [$966$] )= r/(2*R), где R - радиус сферического тела.

Проверив эти две формулы, можно их затем подставить в вышеуказанный интеграл и получить решение задачи. Ниже кратко излагается, как эти формулы получены.

1) Для S([$966$]). Желательно сделать рисунок.

По сути, сначала мы ищем площадь очень тонкого кольца, вырезаемого на сфере для угла между [$629$] и [$629$]+d[$629$]. "Ширина" такого кольца r*d[$629$], где [$629$] - это угол, который, по сути, тот же угол [$966$], но, поскольку в пределах интегрирования будет стоять [$966$], то переменную интегрирования назвали [$629$]. При этом [$629$]_MAX=[$966$]. Длина окружности кольца равна 2*[$960$]*r*sin([$629$]).

А потом площади всех этих бесконечно тонких колец складываем (интегрируем).

То есть [$8747$] (2*[$960$]*r*sin([$629$]) )*r*d[$629$] с пределами от 0 до [$966$].

2) Как находим [$966$]=[$966$](r). Делаем рисунок окружности радиуса R (сферическое тело). Из центра окружности проводим в "южный полюс" (в нижнюю точку окружности) радиус, а затем из "южного полюса" окружности проводим хорду длиной r. Необходимо найти угол между хордой и радиусом, вернее косинус этого угла.

У меня получилось cos( [$966$] )= r/(2*R)

Проверьте мои расчеты. Вроде бы, все.

в ответе должно быть pi/5. у меня получилось близко.
div=3x^2+3y^2+3z^2=3(x^2+y^2+z^2)
сферические координаты: x=ро*sin(тета)cos(фи), у=ро*sin(тета)sin(фи), z=ро*cos(тета)
П=3*интеграл от 0 до 2pi dфи интеграл от 0 до sqrt(x) ро^2*ро^2 dро интеграл от 0 до pi sin(тета)dтета=3*интеграл от 0 до 2pi dфи интеграл от 0 до sqrt(x) ро^4 dро (-cosтета)|pi 0=3*интеграл от 0 до 2pi dфи интеграл от 0 до sqrt(x) ро^4 dро (-cos pi + cos0)=6*интеграл от 0 до 2pi dфи интеграл от 0 до sqrt(x) ро^4 dро=6*интеграл от 0 до 2pi dфи ро^5/5|sqrt(x) 0= дальше не знаю как подставлять корень из х

Ещё можно попробовать так
https://sun9-64.userapi.com/impg/bOGDYDx6lTneXMYouiBC8JYbIFzHKsTvRO3QDQ/89P_3LmVG7E.jpg?size=810x1080&quality=96&sign=674e81b058fb3092b2b446a27aac5435&type=album

Да, если вычислить интеграл, который я написал, ответ действительно [$960$]/5.

[$8747$] (3*r²) * 2*[$960$]*r²*(1 - r*(2*R) ) dr

Пределы интегрирования от 0 до 2*R.

Или если учесть, что R=1/2, то можно сразу вычислять интеграл

[$8747$] (3*r²) * 2*[$960$]*r²*(1 - r ) dr = 6*[$960$]*[$8747$] r⁴*dr - 6*[$960$]*[$8747$] r⁵*dr = 6*[$960$]/5 - 6*[$960$]/6 = 6*[$960$]/5 - [$960$] = [$960$]/5.

с пределами интегрирования от 0 до 1.

Если хотите использовать свой метод вычислений и найти ошибку, то можно Ваш способ протестировать (как в программировании).
Для этого вычислите аналогичный интеграл, убрав из него 3* [$961$]², т.е. для div (A)=1 во всех точках. Должен получиться объем сферы, т.е. 4/3*[$960$]*(1*2)³.

Насколько я вижу, у Вас неправильно заданы пределы интегрирования.

Например, сразу видно, что неправильные пределы для [$966$] - если Вы стоите перед сферой (в начале координат) и осматриваете сферу, меняя угол [$966$], то в лучшем случае (максимум) он может меняться в пределах [-[$960$]/2; [$960$]/2], т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями не 2*[$960$], как у Вас написано, а лишь [$960$] (за Вами сферы нет, сфера только перед Вами).

Непонятно также, почему верхнее значение [$961$]=sqrt(x). Вообще-то, оно равно 1. Это расстояние между началом координат и точкой (1; 0; 0), которая принадлежит сфере.

В общем, в этом случае главное - задать правильные пределы интегрирования трех переменных, которые меняются в зависимости друг от друга (за исключением [$961$], которое меняется от 0 до 1).