Заметим, что, если умножить z²-z+1 на z+1, то получим z³+1, т.е. z³+1 = (z+1)*(z²-z+1).

С другой стороны, предположим, что после деления многочлена на z³+1 получаем в качестве частного многочлен A(z) и остаток B(z).

Значит, первоначальный многочлен представляется в виде: A(z)*(z³+1) + B(z) или A(z)* (z+1)*(z²-z+1) + B(z).

Отсюда следует, что первое слагаемое также делится на z²-z+1. Поэтому для решения задачи вместо первоначального многочлена достаточно рассмотреть его остаток B(z) от деления на z³+1, который будет многочленом не выше второй степени, а потом найдем остаток от его деления на z²-z+1 и получим ответ к задаче.

Заметим также, что zⁿ = z^n-3*(z³+1) - z^n-3, а также zⁿ = z^n-3*(z³+1) - z^n-6*(z³+1)+ z^n-6.

То есть для определения остатка при делении zⁿ на z³+1 достаточно рассматривать остаток от деления на z³+1 одночлена (-z^n-3) или z^n-6. Разумеется, если степень соответствующего одночлена неотрицательная.

Таким образом, вместо z²⁰¹⁷ можно рассматривать просто z, т.е. остаток от деления 2017 на 6 равен 1, что обозначим как 2017%6 =1.
Вместо z⁵⁰³ рассматриваем z⁵, т.к. 503%6=5 или (-z²), т.к. при понижении степени на 3 меняется знак перед одночленом (см. выше).
Вместо z³⁰² рассматриваем z², т.к. 302%6=2.

Таким образом вместо многочлена z²⁰¹⁷ - 2*z⁵⁰³ + 4*z³⁰² + 8 рассматриваем многочлен:

z - 2* (-z²) + 4*z² + 8 = 6*z² + z + 8.

Делим его на z² - z + 1 и получаем искомый остаток 5*z + 2.

ОТВЕТ: 5*z + 2.

Вроде бы, так.