А может этот рисунок не от этой задачи? На нем нет ни точки А, ни точки Р.

Это единственное, что было возле задачи. Я сама удивилась, может ошибка какая..но это всё, что есть

Это типичная задача на определение мгновенного центра скоростей плоской фигуры или определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Эти задачи решаются в курсе Теоретической механики и здесь стандартно обозначают: P-мгновенный центр скоростей; А - точка соединения шатуна и кривошипа.

Что ж, тогда придется поступать, как физикам: если не хватает данных, начинают делать допущения, помогающие решить задачу.

Итак, допущение: точка А - это третья, не помеченная вершина треугольника, приведенного на рисунке, т.е. вершина над обозначением [$969$]. Точка Р (мгновенный центр скоростей шатуна) на рисунке не указана, но ее можно определить (см. ниже).

Эта задача в чем-то аналогична предыдущей (с ползуном). Здесь в плоскости рисунка с постоянной угловой скоростью вращается кривошип (отрезок ОА). К нему прикреплен шатун (отрезок АВ). К шатуну прикреплен поршень (точка В). Поршень может перемещаться только по пунктирной линии ОВ.

Спрашивают о скорости поршня (точки В), поэтому, как и в предыдущей задаче желательно найти зависимость его координаты от угла поворота кривошипа ([$8736$]АОВ). Для разнообразия можно его найти следующим образом.

Для краткости введем обозначения. Пусть ОА=а; АВ=b; [$8736$]АОВ = [$966$]; ОВ=х.

Применим теорему косинусов: b² = a² - 2*a*x*cos([$966$]) +x²
Решаем это квадратное уравнение относительно х, учитываем, что b>a и выбираем единственный положительный корень (второй корень уравнения отрицательный).

Получаем: x([$966$]) = a*cos([$966$]) + sqrt ( b² - a²*sin²[$966$] )

Чтобы найти скорость точки В (поршня) нужно продифференцировать это выражение по времени. Получаем после преобразований (использовали формулу для синуса двойного угла):

v(t) =dx/dt = -a*sin([$966$])*[$969$] - 1/2*a²*sin(2[$966$])*[$969$] /sqrt ( b² - a²*sin²[$966$] ), где [$969$] =d[$966$]/dt берется из условия задачи.

В этом уравнении нам неизвестно значение b (длина отрезка АВ) и непонятно какое подставлять значение [$966$].

Значит, пора выяснить, для какого момента времени (вернее, угла поворота) нужно искать скорость точки В (поршня). Здесь начинается разговор о точке Р.

Сказано, что это мгновенный центр скоростей шатуна (отрезка АВ), т.е. делается аналогия с вращением твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом двумерном случае есть один примечательный момент - линейная скорость каждой точки этого твердого тела перпендикулярна радиус-вектору, проведенному к данной точке от оси вращения (в просторечье, "скорость перпендикулярна радиусу").

Таким образом, чтобы найти такую ось вращения, достаточно знать направление вектора скорости для каких-нибудь двух точек (и разумеется, их местонахождение), а потом от места, где находится каждая точка, провести по линии, перпендикулярной ее вектору скорости. Точка пересечения этих двух линий и будет местонахождением искомой оси вращения (мгновенного центра скоростей).

В качестве этих двух точек возьмем концы шатуна, т.е. точки А и В.

В точке В направление вектора скорости известно: вдоль отрезка ОВ. Значит, через текущее положение точки В нужно просто провести линию, перпендикулярную отрезку ОВ.

В точке А направление вектора скорости тоже известно: поскольку происходит вращение кривошипа (отрезка ОА) вокруг точки О, направление вектора скорости в точке А перпендикулярно отрезку ОА, а значит, чтобы провести перпендикуляр, причем через точку А, нам просто нужно провести прямую ОА (т.е. продлить отрезок ОА) в обе стороны.

В результате, когда обе прямые пересекутся, получим точку Р, о которой говорится в условии.

А теперь то же, но в приложении к геометрии. Строим прямоугольный треугольник, а именно: на рисунке к задаче из точки В проводим влево луч, перпендикулярный ОВ. Из точки О проводим луч, проходящий через точку А, до пересечения с лучом, проведенным из точки В. Точку пересечения лучей обозначаем Р.

Из условия в этом треугольнике нам известна длина отрезков АР, ВР, ОА. То есть, по сути, известна длина отрезка ОР=ОА+АР. Значит, в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и катет. По теореме Пифагора находим другой катет ОВ, который мы обозначили b.

Таким образом, b найдено. Осталось найти [$966$] или какую-нибудь тригонометрическую функцию от [$966$].

Из этого построения видно, что [$8736$]РОВ = [$8736$]АОВ = [$966$].
При этом из прямоугольного треугольника ОРВ следует, что ВР/ОР = sin [$8736$]РОВ = sin([$966$]).
ВР и ОР нам известны (ВР - из условия, а ОР = ОА+АР, которые тоже известны из условия). Отсюда находим sin([$966$]).

Теперь найденные значения b и sin([$966$]), а также для sin(2[$966$])=2*sin([$966$])*sqrt( 1 -sin([$966$])² ) вместе с остальными данными подставляем в выражение для скорости v(t) и находим ответ задачи.

ПРИМЕЧАНИЕ. Рисунок, построенный на основе рисунка к задаче для определения точки Р, по сути, соответствует случаю, когда [$966$] < 90[$176$].

Желательно аналогичным образом построить рисунок и рассмотреть случай, когда 90[$176$] < [$966$] < 180[$176$]. Для этого нужно провести перпендикуляр из точки В не влево, а вправо, а другой луч будет идти не из точки О, а из точки А через точку О вправо-вверх.

Для этого случая выражения для x([$966$]) и v(t), возможно, будут другими. Скорее всего, будет другим и выражение для sin([$966$]). Таким, образом, возможно, полученное значение скорости поршня (ответ к задаче) в этом случае тоже будет отличаться.

Вроде бы, так.

Спасибо за подтверждение!

Спасибо!!