Формулы, конечно, неразборчивые, особенно степени, но как решать понятно.

ПРИМЕЧАНИЕ. В этом тесте векторы i, j и k считаем постоянными (не зависящими от t), в частности, при дифференцировании.

ЗАДАЧА 2.1
Чтобы получить вектор скорости, нужно продифференцировать указанное в задаче выражение для вектора r(t) по t.

Получится выражение вида вектор V(t) = vx*i + vy*j + vz*k, где vx, vy, vz - то, что получится после дифференцирования, соответственно, при i, j и k.

У оси z ортом является вектор k. Напрямую найти тангенс между векторами не получится, но можно найти sin и cos, т.к. по определению тангенс угла alpha равен

tg (alpha) = sin (alpha)/cos(alpha).

Вспомним, что скалярное произведение векторов a и b равно a[$183$]b=|a|*|b|*cos(alpha), где alpha - угол между этими векторами.
Модуль векторного произведения векторов a и b равен |a[$215$]b|=|a|*|b|*sin(alpha)

Делим эти два выражения друг на друга (модуль векторного на скалярное произведение) и получаем:

sin(alpha)/cos(alpha)=tg(alpha) = |a[$215$]b| / a[$183$]b

Значит, задач сводится к вычислению этих произведений между векторами k и V.

В нашем случае V[$183$]k = vz, т.е. просто найденное выражение при k.

|a[$215$]b| = sqrt ( vx² + vy²).

Значит, искомый tg(alpha) = sqrt ( vx² + vy²) / vz

Подставляем значения в найденные формулы, получаем результат (значение тангенса) и определяем вариант ответа, где он встречается.

ЗАДАЧА 2.2.

Спрашивают об ускорении, значит, чтобы его получить, данное в задаче выражение для V(t) придется продифференцировать по времени.
При этом получим выражение вида:

вектор a = ax*i + ay*j, где ax и ay полученные выражения при i и j.

Оси Y перпендикулярна ось X, значит, ускорение будет перпендикулярно оси Y, если его вектор будет параллелен оси X, т.е. не иметь компоненты ay (вдоль оси Y).

Таким образом, чтобы найти время, нужно решить уравнение:

ay=0

Найденное время и будет ответом на вопрос теста.

ЗАДАЧА 2.3

Чтобы найти расстояние, сначала надо найти координаты точки в момент t=1 с. Для этого нужно выражение для скорости, данное в задаче, проинтегрировать по времени, причем значение константы C, которое появляется в интеграле, принять равным нулю (т.к. начало движения было в начале координат).

Получится выражение вида вектор R= x*i + y*j, где x. y - какие-то выражения при i и j.

Значит, расстояние D=|R| вычисляется по формуле:

D=|R|=sqrt (x² + y²), причем значения x(t) и y(t) вычисляются для t=1 с.

Найденное расстояние и будет ответом на вопрос теста.

ЗАДАЧА 2.4

Эта задача вообще одномерная - движение только вдоль оси Y (c ортом j). Чтобы найти выражение для скорости, нужно проинтегрировать выражение для ускорения, приведенное в задаче, а для константы C, которая появляется при интегрировании, взять начальное значение скорости (кажется, написано "-А").

Получим уравнение вида: v(t) = -A + B, где B - выражение, полученное при интегрировании и зависящее от времени.

Вычисляем значение v(t) при t = 1 с, убираем знак (берем модуль) и сравниваем с вариантами ответа.

ЗАДАЧА 2.5

Эту задачу можно решать по-разному. Например, можно вспомнить, что при движении по окружности нормальное ускорение (направленное вдоль радиуса), это известное со школы выражение

Анорм=v²/R=w²*R, где w - угловая скорость

Тангенциальное ускорение (направленное по касательной к окружности) равно

Атанг = R*E, где E - угловое ускорение.

По сути, это производная от линейной скорости v=w*R по времени (при постоянном R, как в нашем случае).

Соответственно, их отношение равно

Атанг/Анорм = R*E/ (w²*R) = E/ w², т.е. не зависит от радиуса.

В этой задаче E постоянно. Значит, w=E*t. Это выражение можно получить интегрированием по t и учесть, что при t=0 w=0.

Тогда Атанг/Анорм = E / ( E² * t²) = 1/(E*t²)

То есть Атанг/Анорм = 1/(E*t²). Поставляем значения для E и t и получаем 0,5, т.е. вариант б).

Ответ: вариант б)

ЗАДАЧА 2.6

Наверное, один из простейших способов ответить на этот вопрос - это получить формулу для угловой скорости, проинтегрировав данную в задаче формулу для ускорения.

В результате получится формула, зависящая от времени. В качестве константы C после интегрирования берем начальное значение угловой скорости, приведенное в задаче.

А потом в эту формулу следует поочередно подставлять значения, указанные во всех пяти вариантах ответа, и сравнивать. Где больше, тот ответ и выбрать.

А если именно решать задачу, то следует найти угловую скорость, как указано выше. Потом необходимо найти моменты времени, в которые УСКОРЕНИЕ обращается в ноль, и все найденные времена поочередно подставлять в формулу для угловой скорости и сравнивать значения (кто больше).

Думаю, вам стоит оформить ответ на консультацию.

И на будущее: если посетитель задает много разных вопросов в одной консультации, эксперт не обязан отвечать на все вопросы он имеет право по своему выбору ответить лишь на один.

ПРИНЦИП: ОДНА КОНСУЛЬТАЦИЯ - ОДИН ВОПРОС - ВОЗМОЖНО НЕСКОЛЬКО ОТВЕТОВ ОТ РАЗНЫХ ЭКСПЕРТОВ
(если они даны в одно и тоже время,
если в разное время, и ответ одного эксперта практически повторяет ответ другого,- то второй по времени ответ будет считаться дублем и удаляется).