Здравствуйте, ovchar0232!
Рассмотрим сначала последовательность
Докажем, что она является бесконечно малой последовательностью, то есть
Согласно определению предела последовательности, нужно для любого числа
установить номер
начиная с которого выполняется неравенство
Последнее неравенство равносильно неравенству
которое выполняется при
то есть в качестве искомого номера
можно взять
Действительно, пусть
Тогда
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь последовательность
где
-- последовательность, которая имеет предел (конечный или бесконечный). Если этот предел конечный, то есть
-- сходящаяся последовательность, то она ограничена, а
-- произведение ограниченной и бесконечно малой последовательностей -- бесконечно малая последовательность (её предел существует и равен нулю). Если же предел последовательности
бесконечный (последовательность является бесконечно большой), то последовательность
тоже бесконечно большая как произведение бесконечно большой последовательности
и последовательности
которая удовлетворяет условию
В обоих случаях последовательность
имеет предел (конечный или бесконечный).
Литература
Альсевич. Л. А. Математический анализ. Последовательности и функции: практикум: учебное пособие / Л. А. Альсевич, С. Г. Красовский, А. Ф. Наумович. -- Минск: Вышэйшая школа, 2019. -- 327 с.
Об авторе:
Facta loquuntur.