Что значит, сохранить симметрию уравнений? Откуда взялось значение t = z/(a - c)? Вообще не ясно...

Замена переменных -- обычный прием при решении систем уравнений. Вместо переменной z введена переменная t, которая избавляет от дробей и упрощает подстановку в третье уравнение. Это не обязательно. Можно было бы просто подставить в третье уравнение значения x и у, выраженные через z. Тогда результат подстановки потребует преобразований.

Что имелось в виду под словами "сохранить симметрию уравнений". В исходную систему уравнений x, y и z входят похожим образом. Выражая x и y через z, мы нарушаем эту симметрию, выделяя переменную z.

Замена переменных

В этот раз не понял сначала, как это делается...

Тогда результат подстановки потребует преобразований.

Вот с этим как раз и проблема, я про это спрашивал, как-то не преобразовывается и всё.

В исходную систему уравнений x, y и z входят похожим образом. Выражая x и y через z, мы нарушаем эту симметрию, выделяя переменную z.

А вводя переменную симметрию возвращаем?!

Если скобки раскрываю, то квадратное уравнение не получается, короче говоря, кто-то может более детально объяснить ход решения?

Исходные уравнения симметричны, в том смысле, что они не меняются
при одновременной замене (x, y, z) -> (y, z, x) и (a, b, c) -> (b, c, a).
То же самое верно для уравнений, выражающих x, y, z через t (они переходят друг в друга).
Так что действительно, вводя переменную t, мы восстанавливаем симметрию.
Для получения результата это не обязательно, но может упростить выкладки.

Если раскрывать скобки в последнем уравнении ответа, получим
(b-a)^2*t^2 + 2(b-a)*b*t + b^2 + (c-b)^2*t^2 + 2(c-b)*c*t + c^2 +
(a-c)^2*t^2 + 2(a-c)*c*t + a^2 = a^2 + b^2 + c^2.

После сокращения a^2+b^2+с^2 в правой и левой частях находим корень t = 0.
Для второго корня получается уравнение:
(b^2-2ab+a^2)*t + 2*b^2-2ab + (c^2-2bc+b^2)*t + 2*c^2-2bc + (a^2-2ac+a^2)*t + 2*b^2-2ac = 0
Приведение подобных членов дает 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)*t + 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0,
откуда t = -1.

Можно проверить, что 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) = (a+b+c)^2 + a^2+b^2+c^2 >= 0.
Равенство этого выражения нулю возможно только при a=b=c=0.
Это значит, что другие решения системы не появятся ни при каких a, b, c.

Теперь понятно.

Значит и уравнение (на скрине) должно упрощаться подобным образом, но при раскрытия скобок там получаются какие-то дикие значения. Это выражение получилось путем преобразования первого уравнения основной системы
z = -(x + y), а второго к y = (c-b)x/(b-a) и подстановки второго уравнения в третье

z = -(x + y)
y = (c-b)x/(b-a)
(x+b)^2 + (y+c)^2 + (z+a)^2 = a^2 + b^2 + c^2