Родились сегодня:
Антонина


Лидеры рейтинга

ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

672

Россия, Северодвинск


ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

325

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401284

Михаил Александров

Академик

278

Россия, Санкт-Петербург


ID: 325460

CradleA

Академик

211

Беларусь, Минск


ID: 401888

puporev

Профессор

140

Россия, Пермский край


ID: 400815

alexleonsm

6-й класс

130


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

120

Беларусь, Гомель


8.8.12

06.05.2021

JS: 2.8.16
CSS: 4.5.4
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-05-06 21:16:03-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 200295

Раздел: Математика
Автор вопроса: YAVTA (Посетитель)
Дата: 19.02.2021, 11:24 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте!
Месяц не могу решить задачи по геометрии.

Точки K, L, M лежат на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC соответственно, причём площади треугольников AKM, CLM, BKL, KLM равны 30, 15, 7, 18 соответственно. Определите соотношения AK:KB, AM:MC, CL:LB.

Теория, необходимая для решения (по мнению авторов) в прикрепленном файле.
Объясните пожалуйста, как это решить, мне еще ЕГЭ сдавать smile

-----
Прикрепленные файлы:


4bc571b168acf00de4de319d0d4e9ed952490d88.pdf
скачать (1.39 Mб)
Здравствуйте, YAVTA!


Площадь треуголька ABC равна S = 30 + 15 + 7 + 18 = 70. Обозначим x = AK/KB, y = AM/MC, z = CL/LB.
Выразите площади S и S_AKM через синус угла A и прилежащие стороны.
S = AB*AС*sin(A)/2; S_AKM = AK*AM*sin(A)/2,
S/S_AKM = AB*AC/(AK*AM) = ((AK + KB)/AK)*((AM + MC)/AM) = (1 + KB/AK)*(1 + MC/AM) = (1 + 1/x)*(1 + 1/y) = 7/3
Аналогично находим:
S/S_CLM = BC*AC/(LC*CM) = ((BL + LC)/LC)*((AM + MC)/MC) = (1 + BL/LC)*(1 + AM/MC) = (1 + 1/z)*(1 + y) = 14/3
S/S_BKL = AB*BC/(KB*BL) = ((AK + KB)/KB)*((BL + LC)/BL) = (1 + AK/KB)*(1 + LC/BL) = (1 + x)*(1 + z) = 10
В результате имеем систему уравнений:
(1 + 1/x)*(1 + 1/y) = 7/3
(1 + 1/z)*(1 + y) = 14/3
(1 + x)*(1 + z) = 10
Из второго и третьего уравнений: y = (11*z - 3)/(3*z+3); x = (9-z)/(1+z).
Подставляем в первое уравнение:
(1+(1+z)/(9-z))*(1+(3z+3)/(11z-3)) = 7/3.
После преобразований получим квадратное уравнение с корнями z1=3, z2 = 9/11.
В результате получим два решения:
x1 = 3/2; y1 = 5/2; z1 = 3;
x2 = 9/2; y2 = 11/10; z2 = 9/11.

Проверьте внимательно вычисления.

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник
24.02.2021, 09:05
5


Большое спасибо!

Мини-форум консультации # 200295

q_id

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

ID: 165461

1

= общий =    20.02.2021, 09:53
YAVTA:

Попробуйте так. Посчитайте площадь треуголька ABC. Обозначьте искомые отношения отрезков x, y, z. Выразите площади S_ABC и S_AKM через синус угла A и прилежащие стороны. Разделите полученные равенства друг на друга. После преобразований должно получиться что-то похожее на это:
(x + 1)*(1/z + 1) = S_ABC/S_AKM.
Аналогичную процедуру выполните для двух других треугольников CLM и BKL. Получится система из трех уравнений. Попробуйте решить последовательным исключением неизвестных.

q_id

YAVTA

Посетитель

ID: 404317

2

= общий =    21.02.2021, 15:53
Лангваген Сергей Евгеньевич:

Спасибо, сегодня-завтра попробую решить!
Я вообще по разному пробовал, в частности выразить отношение площадей треугольников с общим углом как отношения прилежащих к углу сторон.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

3

= общий =    22.02.2021, 14:09
YAVTA:

Если не получится решить самостоятельно или сомневаетесь в правильности своего Решения, то я могу сделать Решение в Маткаде для проверки.

q_id

YAVTA

Посетитель

ID: 404317

4

= общий =    22.02.2021, 18:37

Сегодня сел решать, получилось три уравнения с 9 неизвестными (наверное те самые). Завтра попробую по другому.

Последнее редактирование 22.02.2021, 18:38 YAVTA (Посетитель)

q_id

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

ID: 165461

5

= общий =    22.02.2021, 20:22
YAVTA:

Должно получиться три уравнения с тремя неизвестными x, y и z.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

6

= общий =    23.02.2021, 01:52
YAVTA:

Вы писали "(наверное те самые)" - вероятно, Вы подразумеваете эту же задачу в консультации rfpro.ru/questio...n/200061(ссылка) ?
Если задача / проблема имеет историю, надо всегда указывать ссылку на неё, чтобы Ваши сотрудники / помощники понимали Вас. Ибо развивать тему всегда легче, чем начинать её с нуля.

YAVTA

Анатолий

Посетитель

ID: 400728

7

= общий =    23.02.2021, 15:58
YAVTA:

в частности выразить отношение площадей треугольников с общим углом как отношения прилежащих к углу сторон.

YAVTA
так должно получится.

Алексеев Владимир Николаевич

Анатолий

Посетитель

ID: 400728

8

= общий =    23.02.2021, 16:16
Алексеев Владимир Николаевич:

то я могу сделать Решение в Маткаде для проверки.

Алексеев Владимир Николаевич
Студенту важен не ответ, а ход решения и не в маткаде...

Алексеев Владимир Николаевич

Анатолий

Посетитель

ID: 400728

9

= общий =    23.02.2021, 17:22
YAVTA:

Прикрепленный PDF: скачать (PDF) [1.39 Mб]

спасибо за методичку smile

Алексеев Владимир Николаевич

Анатолий

Посетитель

ID: 400728

10

= общий =    24.02.2021, 11:43
Лангваген Сергей Евгеньевич:

В результате получим два решения:

как проверить,что оба решения верны?

Алексеев Владимир Николаевич

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

ID: 165461

11

= общий =    24.02.2021, 14:31
Анатолий:

Возьмем произвольный треугольник площадью 70 единиц, и поделим его стороны в полученных отношениях x, y, z. Тогда он разобется на треугольники с площадями, указанными в условиях задачи, так как эти уравнения определяют доли площадей малых треугольников от площади треугольника ABC. То есть, для проверки результатов достаточно убедиться, что уравнения для x, y, z выполняются, и что они записаны без ошибок.

Лангваген Сергей Евгеньевич

Анатолий

Посетитель

ID: 400728

12

= общий =    24.02.2021, 17:38
Лангваген Сергей Евгеньевич:

То есть, для проверки результатов достаточно убедиться, что уравнения для x, y, z выполняются

Лангваген Сергей Евгеньевич
а как убедиться, что угол А в двух вариантах ответа будет один и тот же: у внешнего треугольника площадью 70ед и внутреннего площадью -30ед ?

Последнее редактирование 24.02.2021, 18:01 Анатолий (Посетитель)

Лангваген Сергей Евгеньевич

YAVTA

Посетитель

ID: 404317

13

= общий =    24.02.2021, 19:56
Лангваген Сергей Евгеньевич:

Спасибо большое Сергей Евгеньевич!
Вы очень помогли мне разобраться, я не догадался выразить большую сторону через две меньших.

P.S. оба ответа правильные

Последнее редактирование 24.02.2021, 22:27 YAVTA (Посетитель)

Лангваген Сергей Евгеньевич

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

ID: 165461

14

= общий =    24.02.2021, 20:19
Анатолий:

Вершины треугольника ABC можно обозначить в любом порядке. Возьмем вершину, которую мы обозначеили A, и поставим точки K, М на сторонах AB и AC так, чтобы соблюсти пропорции согласно любому из вариантов ответа. Тогда площадь треугольника AKM будет такой, как в условии. Подумайте над смыслом уравнения (1 + 1/x)*(1 + 1/y) = S_ABC/S_АКМ.

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 672

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 325

Михаил Александров

Академик

Рейтинг: 278

CradleA

Академик

Рейтинг: 211

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 120

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 59